XXXIV OM - III - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XXXIV OM, 1982-1983

Etap:

III

Na płaszczyźnie dany jest $n$ -kąt wypukły $P_1, \ldots, P_n$ oraz punkt $Q$ w jego wnętrzu nie należący do żadnej przekątnej. Dowieść, że jeśli $n$ jest liczbą parzystą, to liczba trójkątów $P_iP_jP_k$ ( $i,j,k= 1,2,\ldots,n$ ), które zawierają punkt $Q$ jest parzysta.

Rozwiązanie

Rozważmy najpierw czworokąt wypukły $ABCD$ i punkt $K$ w jego wnętrzu nie należący do żadnej przekątnej. Punkt $K$ należy do jednej z dwóch półpłaszczyzn o krawędzi $AC$ . Wynika stąd, że punkt $K$ należy do dokładnie dwóch spośród trójkątów $ABC$ , $ABD$ , $ACD$ , $BCD$ (na rys. 11 punkt $K$ należy do trójkątów $ACD$ i $BCD$ ). Udowodniliśmy w ten sposób tezę twierdzenia dla $n = 4$ . Przypuśćmy, że $n$ jest liczbą parzystą większą od $4$ . Wybierając dowolne cztery wierzchołki $P_i$ , $P_j$ , $P_k$ , $P_l$ danego wielokąta otrzymamy czworokąt wypukły. Jeśli punkt $Q$ należy do tego czworokąta, to należy on do dwóch spośród trójkątów $P_iP_jP_k$ , $P_iP_jP_l$ , $P_iP_kP_l$ , $P_jP_kP_l$ ; jeśli punkt $Q$ nie należy do czworokąta, to nie należy również do żadnego z tych trójkątów. W każdym przypadku liczba trójkątów wyznaczonych przez wierzchołki $P_i$ , $P_j$ , $P_k$ , $P_l$ i zawierających punkt $Q$ jest parzysta. Dowolnie ustalony trójkąt $P_iP_jP_k$ jest zawarty w $n-3$ czworokątach o wierzchołkach będących wierzchołkami danego wielokąta. Wobec tego rozważając wszystkie czworokąty $P_iP_jP_kP_l$ i zawarte w nich trójkąty zawierające punkt $Q$ policzymy każdy trójkąt $(n-3)$ -krotnie. Dodając liczby trójkątów zawartych w czworokątach $P_iP_jP_kP_l$ i zawierających punkt $Q$ otrzymamy więc pewną liczbę parzystą równą $(n-3)t$ , gdzie $t$ jest liczbą trójkątów $P_iP_jP_k$ zawierających punkt $Q$ . Ponieważ $n-3$ jest liczbą nieparzystą (bo $n$ jest liczbą parzystą), więc liczba rozważanych trójkątów jest parzysta.