XXXIV OM - III - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XXXIV OM, 1982-1983

Etap:

III

Na płaszczyźnie dane są wektory $\overrightarrow{a_1}, \overrightarrow{a_2}, \overrightarrow{a_3}$ o długości 1. Dowieść, że można tak wybrać liczby $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$ równe 1 lub 2, że długość wektora $\varepsilon_1\overrightarrow{a_1} + \varepsilon_2\overrightarrow{a_2} + \varepsilon_3\overrightarrow{a_3}$ jest nie mniejsza od 2.

Rozwiązanie

Zaczepmy w dowolnym punkcie $0$ wektory $\overrightarrow{a_1}$ , $\overrightarrow{a_2}$ , $\overrightarrow{a_3}$ . Wyznaczają one trzy proste przecinające się w punkcie $0$ . Wśród kątów wyznaczonych przez pary tych prostych istnieje kąt o mierze $\alpha$ nie większej od $\frac{\pi}{3}$ . Przypuśćmy, że jest to kąt między prostymi wyznaczonymi przez wektory $\overrightarrow{a_1}$ i $\overrightarrow{a_2}$ (w innym przypadku wystarczy zmienić numerację wektorów). Wobec tego jeden z kątów $\measuredangle (\overrightarrow{a_1}, \overrightarrow{a_2})$ , $\measuredangle (\overrightarrow{a_1}, -\overrightarrow{a_2})$ ma miarę $\alpha \in \left[0, \frac{\pi}{3} \right]$ .

Przyjmujemy $\varepsilon_2$ tak, by kąt $\measuredangle (\overrightarrow{a_1}\varepsilon_2 \overrightarrow{a_2})$ miał miarę $\alpha$ . Obliczmy iloczyn skalarny wektora $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a_1}+\varepsilon_2 \overrightarrow{a_2}$ przez siebie:

$ \begin{split} \overrightarrow{b_2}^2 = (\overrightarrow{a_1}+\varepsilon_2 \overrightarrow{a_2})^2 = |\overrightarrow{a_1}|^2 + |\overrightarrow{a_2}|^2 + 2 \overrightarrow{a_1} |\varepsilon_2 \overrightarrow{a_2} |=\\ 2 + 2 |\overrightarrow{a_1}| \cdot |\varepsilon_2 \overrightarrow{a_2}| \cdot \cos \alpha \geq 2 + 2 \cdot \frac{1}{2} = 3. \end{split} $

Wobec tego $|\overrightarrow{b}| \geq \sqrt{3}$ .

Zauważmy następnie, że

$ (\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a_3})^2+ (b-\overrightarrow{a_3})^2 = \overrightarrow{b}^2 + 2\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a_3} + \overrightarrow{a_3}^2 +\overrightarrow{b}^2-2\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a_3} +\overrightarrow{a_3}^2 = 2|b|^2+2 \geq 2 \cdot 3+2= 8. $

Wobec tego jedna z liczb $(\overrightarrow{a_1}+ \varepsilon_2 \overrightarrow{a_2} +\overrightarrow{a_3})^2$ , $(\overrightarrow{a_1}+ \varepsilon_2 \overrightarrow{a_2} -\overrightarrow{a_3})^2$ nie jest mniejsza od $4$ . Przyjmujemy $\varepsilon_3$ tak, by $(a_1+ \varepsilon_2 a_2 +\varepsilon_3 a_3)^2 \geq 4$ . Wówczas $|a_1 + \varepsilon_2 a_2+\varepsilon_3a_3| \geq 2$ .