XXXIV OM - III - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

XXXIV OM, 1982-1983

Etap:

III

Wykazać, że jeśli wszystkie kąty dwuścienne czworościanu są ostre, to wszystkie jego ściany są trójkątami ostrokątnymi.

Rozwiązanie

Każdej ścianie przyporządkowujemy wektor jednostkowy prostopadły do niej i skierowany na zewnątrz czworościanu. Rozważmy dwie ściany tworzące kąt $\alpha$ . Wektory przyporządkowane tym ścianom tworzą kąt $\pi - \alpha$ (rys. 12). Wobec tego na to, by wszystkie kąty dwuścienne czworościanu były ostre, potrzeba i wystarcza, by kąty między każdą parą spośród wektorów $\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{b}$ , $\overrightarrow{c}$ , $\overrightarrow{d}$ przyporządkowanych poszczególnym ścianom były rozwarte, a więc by

$ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} < 0, \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} < 0, \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{d} < 0, \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} < 0, \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{d} < 0, \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{d} < 0. $

Załóżmy, że spełnione są powyższe nierówności. Udowodnimy, że każdy kąt płaski czworościanu jest ostry. Rozważmy kąt $ABC$ . Wektor $\overrightarrow{a}$ przyporządkowany ścianie $BCD$ jest prostopadły do prostej $BC$ . Wobec tego rzut $\overrightarrow{a}_{ABC}$ wektora $\overrightarrow{a}$ na płaszczyznę $ABC$ też jest prostopadły do prostej $BC$ . Podobnie wektor $\overrightarrow{c}$ przyporządkowany ścianie $ABD$ jest prostopadły do prostej $AB$ , więc jego rzut $\overrightarrow{c}_{ABC}$ na płaszczyznę $ABC$ jest prostopadły do $AB$ . Wynika stąd, że

$ \measuredangle (\overrightarrow{a}_{ABC} \cdot \overrightarrow{c}_{ABC} )= \pi - \measuredangle ABC. $

Wobec tego kąt $ABC$ jest ostry wtedy i tylko wtedy, gdy $\overrightarrow{a}_{ABC} \cdot \overrightarrow{c}_{ABC} < 0$ .

Wektory $\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{b}$ , $\overrightarrow{c}$ , $\overrightarrow{d}$ mają długość $1$ , wobec tego (rys. 14)

$ \overrightarrow{a}_{ABC} = \overrightarrow{a} - (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{d} ) \cdot \overrightarrow{d},\ \overrightarrow{c}_{ABC} = \overrightarrow{c} - (\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{d} ) \cdot \overrightarrow{d}. $

Stąd

$ \begin{split} &\overrightarrow{a}_{ABC} \cdot \overrightarrow{c}_{ABC} = (\overrightarrow{a} - (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{d} ) \cdot \overrightarrow{d}) \cdot (\overrightarrow{c} - (\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{d} ) \cdot \overrightarrow{d}) =\\ &\qquad =\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} - (\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{d})(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{d}) - (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{d})(\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{d}) - +(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{d})(\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{d})(\overrightarrow{d} \cdot \overrightarrow{d})=\\ &\qquad =\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} - (\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{d})(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{d}) - (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{d})(\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{d}) +(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{d})(\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{d}) \cdot 1=\\ &\qquad =\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} - (\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{d})(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{d}) < 0, \end{split} $

bo każdy z występujących tu iloczynów skalarnych jest ujemny. Wykazaliśmy więc, że kąt $ABC$ jest ostry. Dla pozostałych kątów płaskich dowód jest analogiczny.