XXXIII OM - I - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XXXIII OM, 1981-1982

Etap:

Dwudziestopięciokąt foremny $A_1,A_2, \ldots, A_{25}$ wpisany jest w okrąg o środku $O$ i promieniu długości $r$ . Jaka jest maksymalna długość wektora będącego sumą pewnych spośród wektorów $\overrightarrow{OA_1}, \overrightarrow{OA_2}, \ldots, \overrightarrow{OA_{25}}$ ?

Rozwiązanie

Rozważmy pewien podzbiór $X$ zbioru danych wektorów, dla którego
wektor $\overrightarrow{a}$ będzie równy sumie wszystkich wektorów podzbioru $X$ . Jeżeli wektor $\overrightarrow{OA_i}$ nie należy do $X$ oraz tworzy z wektorem $\overrightarrow{a}$ kąt ostry, to suma wszystkich wektorów zbioru $X$ oraz wektora $\overrightarrow{OA_i}$ ma długość większą od $a$ . Zakładając, że $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{a}$ , to $\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{OA_i}$ oraz $\overrightarrow{OC}^2 = \overrightarrow{OA_i}^2 + \overrightarrow{A_iC}^2- 2OA_i A_i C \cos| \measuredangle OA_iC| > OA_i^2 + A_iC^2$ (bo kąt $OA_1C$ jest rozwarty). Stąd wynika, że $OC_i^2 > a^2$ , to jest $OC > a$ .

Z drugiej strony ponieważ suma wszystkich danych wektorów $\overrightarrow{OA_1} + \ldots + \overrightarrow{OA_{25}}$ jest wektorem zerowym, więc suma wektorów każdego ustalonego podzbioru $\{\overrightarrow{OA_{i_2}}, \ldots, \overrightarrow{OA_{i_k}}\}$ jest wektorem przeciwnym do sumy pozostałych $25-k$ wektorów, a zatem obie te sumy są wektorami równej długości. Wynika stąd, że sumę o maksymalnej długości możemy otrzymać dodając nie więcej niż $12$ wektorów. Pokażemy, że taką maksymalną sumę otrzymamy dodając $12$ kolejnych wektorów. Niech wektor $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{OB}$ oznacza sumę wektorów wybranego podzbioru $X$ . Nie zmniejszając ogólności możemy założyć, że punkt $B$ należy do kąta $A_6OA_7$ . Gdyby więc któryś z wektorów $\overrightarrow{OA_i}$ dla $i = 1,2,\ldots,12$ nie należał do $X$ , to na mocy początkowej uwagi dodając ten wektor do $X$ otrzymalibyśmy taki podzbiór wektorów, że ich suma byłaby dłuższa od $a$ . Ostatecznie więc maksymalną długość ma suma kolejnych $12$ wektorów (suma kolejnych $13$ wektorów ma tę samą długość). Wygodniej będzie obliczyć długość sumy kolejnych $13$ wektorów. Ponieważ kolejne wektory tworzą kąt o mierze $\frac{2\pi}{25}$ , więc suma długości takich $13$ wektorów $\{\overrightarrow{OA_1}, \ldots, \overrightarrow{OA_{13}}\}$ równa jest sumie długości rzutów tych wektorów na półprostą $OA_7$ . Wynosi ona

$ (*) \qquad r \left| 1 + 2 \cos \frac{2\pi}{25} + 2 \cos \frac{4\pi}{25} + 2 \cos \frac{6\pi}{25} + 2 \cos \frac{8\pi}{25} + 2 \cos \frac{10\pi}{25} + 2 \cos \frac{12\pi}{25} \right|, $

gdyż wektory $\overrightarrow{OA_1}$ i $\overrightarrow{OA_{13}}$ tworzą z $\overrightarrow{OA_7}$ kąt o mierze $6 \cdot \frac{2\pi}{25}$ , wektory $\overrightarrow{OA_1}$ i $\overrightarrow{OA_{13}}$ tworzą z $\overrightarrow{OA_7}$ kąty o mierze $5 \cdot \frac{2\pi}{25} , \ldots,$ wektory $\overrightarrow{OA_6}$ i $\overrightarrow{OA_{8}}$ tworzą z $\overrightarrow{OA_7}$ kąty o mierze $\frac{2\pi}{25}$ .

Dla obliczenia wartości (*) zastosujemy liczby zespolone. Liczba

$ 1 + \cos \frac{2\pi}{25} + \cos \frac{4\pi}{25} + \cos \frac{6\pi}{25} + \cos \frac{8\pi}{25} + \cos \frac{10\pi}{25} + \cos \frac{12\pi}{25} $

jest częścią rzeczywistą liczby zespolonej

$ t=1 + \left( \cos \frac{2\pi}{25} + i \sin \frac{2\pi}{25} \right) + \left( \cos \frac{4\pi}{25} + i \sin \frac{4\pi}{25} \right) + \ldots + \left( \cos \frac{12\pi}{25} + i \sin \frac{12\pi}{25} \right). $

Przyjmując $z = \cos \frac{2\pi}{25} + i \sin \frac{2\pi}{25}$ mamy na mocy wzoru de Moivre'a

$ \cos \frac{k2\pi}{25} + i \sin \frac{k2\pi}{25}= \left( \cos \frac{2\pi}{25} + i \sin \frac{2\pi}{25} \right)^k = z^k. $

Wynika stąd, że

$ t = 1 + z + z^2+ \ldots + z^6 = \frac{1-z^7}{1-z}, $

więc

$ t = \frac{1-\left( \cos \frac{2\pi}{25} + i \sin \frac{2\pi}{25} \right)^7}{1-\left( \cos \frac{2\pi}{25} + i \sin \frac{2\pi}{25} \right)}= \frac{1 - \cos \frac{14\pi}{25} - i \sin \frac{14 \pi}{25} }{1- \cos \frac{2\pi}{25} - i \sin \frac{2\pi}{25} }, $

$ \begin{split} t&=\frac{\left( 1- \cos \frac{14\pi}{25} - i \sin \frac{14\pi}{25} \right) \left( 1- \cos \frac{2\pi}{25} + i \sin \frac{2\pi}{25} \right) }{\left( 1- \cos \frac{2\pi}{25} \right)^2 +\left( \sin \frac{2\pi}{25} \right)^2}=\\ &=\frac{ 1- \cos \frac{2\pi}{25} -\cos \frac{14\pi}{25}+\cos \frac{2\pi}{25}\cos \frac{14\pi}{25}+ \sin \frac{14\pi}{25} \sin \frac{2\pi}{25}}{1- 2\cos \frac{2\pi}{25} +\cos^2 \frac{2\pi}{25} + \sin^2 \frac{2\pi}{25}}+\\ &+ i \frac{\left( 1- \cos \frac{14\pi}{25} \right) \sin \frac{2\pi}{25}- \sin \frac{14\pi}{25} \left(1 - \cos \frac{2\pi}{25} \right)}{1-2 \cos \frac{2\pi}{25} +\cos^2 \frac{2\pi}{25} + \sin^2 \frac{2\pi}{25}}. \end{split} $

Interesująca nas część rzeczywista tej liczby wynosi

$ \begin{split} Re t = \frac{ 1- \cos \frac{2\pi}{25} -\cos \frac{14\pi}{25}+\cos \frac{2\pi}{25}\cos \frac{14\pi}{25}+ \sin \frac{14\pi}{25} \sin \frac{2\pi}{25}}{2- 2\cos \frac{2\pi}{25}}=\\ =\frac{ 1- \cos \frac{2\pi}{25} -\cos \frac{14\pi}{25}+\cos \frac{12\pi}{25}}{2- 2\cos \frac{2\pi}{25}}= \frac{ 1- \cos \frac{2\pi}{25} +2\sin \frac{13\pi}{25}\sin \frac{\pi}{25}}{2- 2\cos \frac{2\pi}{25}}. \end{split} $

Obliczyliśmy więc, że

$ 1 + \cos \frac{2\pi}{25} + \cos \frac{4\pi}{25} + \ldots + \cos \frac{12\pi}{25}= \frac{ 1- \cos \frac{2\pi}{25} +2\sin \frac{13\pi}{25}\sin \frac{\pi}{25}}{2- 2\cos \frac{2\pi}{25}}. $

Wobec tego

$ \begin{split} 1 + 2\cos \frac{2\pi}{25} + 2\cos \frac{4\pi}{25} + \ldots + 2 \cos \frac{12\pi}{25}=\\ =\frac{ 1- \cos \frac{2\pi}{25} +2\sin \frac{13\pi}{25}\sin \frac{\pi}{25}}{1- \cos \frac{2\pi}{25}}-1 = \frac{2\sin \frac{13\pi}{25}\sin \frac{\pi}{25}}{1- \cos \frac{2\pi}{25}}=\\ =\frac{2\sin \frac{13\pi}{25}\sin \frac{\pi}{25}}{1- \left( 1 - 2 \sin^2 \frac{\pi}{25} \right) }= \frac{2\sin \frac{13\pi}{25}\sin \frac{\pi}{25}}{2\sin^2 \frac{\pi}{25}}= \frac{\sin \frac{13\pi}{25}}{\sin \frac{\pi}{25}}. \end{split} $

Ostatecznie więc maksymalna długość wektora będącego sumą pewnych spośród wektorów $\overrightarrow{OA_1}, \ldots, \overrightarrow{OA_{25}}$ wynosi

$ r= \frac{\sin \frac{13\pi}{25}}{\sin \frac{\pi}{25}}. $