Ktoś ma wagę dwuramienną nierzetelną (tzn. wagę,
której ramiona są nierówne). Chcąc odważyć 2 kg cukru postępuje
w sposób następujący: kładzie ciężarek 1 kg na lewej szalce wagi,
a na prawą szalkę sypie cukier aż do zrównoważenia; następnie:
opróżniwszy obie szalki kładzie ciężarek 1 kg na prawej szalce, a na
lewą sypie cukier aż do zrównoważenia. Czy odważone w ten sposób dwie
ilości cukru stanowią razem mniej, czy więcej, czy też dokładnie
2 kg?
Oznaczmy ilość kilogramów cukru odważonego za pierwszym
razem przez 
, a za drugim razem przez 
. Długości ramion
wagi niech będą 
i 
, przy czym 
.
Według prawa dźwigni (rys. l) mamy:
![\[<br />
\begin{split}<br />
q \cdot x = p \cdot 1 &\text{ skąd } x =\frac{p}{q} \\<br />
q \cdot x = p \cdot 1 &\text{ skąd } x =\frac{p}{q}<br />
\end{split}<br />
\]](/files/tex/1350a8ae394b1130c62832285c17caa155ba90f3.png) |
Zatem
![\[<br />
x+y = \frac{p}{q} + \frac{q}{p} = \frac{p^2+q^2}{pq} > 2,<br />
\]](/files/tex/0d688468b98d4d132c3e0373082997cd0a28fc94.png) |
ponieważ
![\[<br />
\frac{p^2+q^2}{pq}-2 = \frac{p^2+q^2-2pa}{pq} = \frac{(p-q)^2}{pq} > 0,<br />
\text{ gdy }p \neq q.<br />
\]](/files/tex/8dd71d83d343d12f9750fa1243080e1f6df4d26c.png) |
Odpowiedź: Odważono razem więcej niż 2 kg cukru.