XXXIII OM - I - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XXXIII OM, 1981-1982

Etap:

Obliczyć granicę

$ \lim_{n\to \infty} a_5a_6\ldots a_n, $

gdzie

$ a_k = \frac{k^4-17k^2+16}{k^4-8k^2+16}. $

Rozwiązanie

Rozkładając licznik i mianownik na czynniki otrzymujemy

$ a_k = \dfrac{(k-4)(k-1)(k+1)(k+4)}{(k-2)^2(k+2)^2}. $

Wobec tego w iloczynie

$ a_5a_6 \ldots a_n $

każda liczba $m$ spełniająca nierówność $9 \leq m \leq n - 4$ występuje dokładnie cztery razy w liczniku i cztery razy w mianowniku, na przykład liczba $10$ występuje w liczniku w czynnikach $a_6 =\dfrac{2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 10}{4^2 \cdot 8^2}$ , $a_9=\dfrac{5 \cdot 8 \cdot 10 \cdot 13}{7^2 \cdot 11^2}$ , $a_{11} = \dfrac{7 \cdot 10 \cdot 12 \cdot 15}{9^2 \cdot 13^2}$ , $a_{14} = \dfrac{10 \cdot 13 \cdot 15 \cdot 18}{12^2 \cdot 16^2}$ , natomiast w mianowniku w czynnikach $a_8=\dfrac{4 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 12}{6^2 \cdot 10^2}$ i $a_{12} = \dfrac{8 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 16}{10^2 \cdot 14^2}$ . Natomiast llczba $2$ występuje w iloczynie $a_5a_6 \ldots a_n$ tylko raz w liczniku $\left(\textrm{w}\ a_6=\dfrac{2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 10}{4^2 \cdot 9^2} \right)$ , liczba $3$ występuje jednokrotnie w liczniku (w $a_7 = \dfrac{3 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 11}{5^2 \cdot 9^2}$ , dwukrotnie w mianowniku (w $a_5 = \dfrac{1 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 9}{3^2 \cdot 7^2}$ ), liczba $4$ dwukrotnie w liczniku i dwukrotnie w mianowniku, liczba $5$ dwukrotnie w liczniku i dwukrotnie w mianowniku, liczba $6$ trzykrotnie w liczniku, a dwukrotnie w mianowniku, liczby $7$ i $8$ trzykrotnie w liczniku, a czterokrotnie w mianowniku. Ponadro w iloczynie $a_5a_6 \ldots a_n$ liczby $n - 3$ i $n - 2$ występują trzykrotnie w liczniku i czterokrotnie w mianowniku, liczba $n - 1$ występuje trzykrotnie w liczniku a dwukrotnie w mianowniku, liczby $n$ i $n + 1$ występują dwukrotnie w liczniku i dwukrotnie w mianowniku, liczba $n + 2$ występuje jednokrotnie w liczniku a dwukrotnie w mianowniku, liczby $n + 3$ i $n + 4$ występują jednokrotnie w liczniku, nie występują w mianowniku. Wobec tego po uproszczeniu, wszystkich czynników występujących w liczniku i w mianowniku otrzymujemy

$ a_5a_6 \ldots a_n = \dfrac{2 \cdot 6 \cdot (n+1) \cdot (n+3) \cdot (n+4)}{3 \cdot 7 \cdot 8 \cdot (n-3) \cdot (n-2) \cdot (n+2)}. $

Granicą tego ciągu jest liczba $\dfrac{1}{14}$ .