Opublikowane na Archiwum Olimpiady Matematycznej (https://archom.ptm.org.pl)

XXXIII OM - I - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

XXXIII OM, 1981-1982

Etap:

I

Dowieść, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i każdej liczby naturalnej $n$ zachodzi nierówność

$<br /> |\cos x| + |\cos 2x| + |\cos 4x| + \ldots + |\cos 2^n x| \geq \frac{n}{2}.<br />$

Rozwiązanie

Ponieważ $\cos 2t = 2 \cos^2 t - 1$ , więc z założenia $|\cos 2^{k} x| < \frac{1}{2}$ wynika, że

$<br /> \begin{split}<br /> |\cos 2^kx| + |\cos 2^{k+1}x| = |\cos 2^{k} x| + |2(\cos 2^{k} x)^2 - 1| =\\<br /> = |\cos 2^kx| + 1 - 2|\cos 2^kx|^2 = 1 + 2| \cos 2^{k} x| (\frac{1}{2}-|\cos 2^{k} x|) > 1.<br /> \end{split}<br />$

Niech $k_1, k_2, \ldots, k_r$ ( $1 \leq k_1 < k_2 < \ldots < k_r \leq n$ ) będą wszystkimi tymi wykładnikami, dla których $|\cos 2^{k} x| < \frac{1}{2}$ . Wykładniki $k_i$ , $k_i + 1$ nie mogą dla żadnego $i$ być kolejnymi liczbami naturalnymi, gdyż

$<br /> |\cos 2^{k_i} x| + |\cos 2^{k_i+1}x| \geq 1.<br />$

Rozpatrzmy dwa przypadki.

1. Jeśli $k_r < n$ , to

$<br /> \sum_{k=0}^r |\cos 2^{k_j} x| + |\cos 2^{k_j + 1}x| \geq r,<br />$

a każdy z pozostałych $n + 1 - 2r$ składników sumy $|\cos x| + |\cos 2x| + \ldots + |\cos 2^nx|$ jest większy od $\frac{1}{2}$ , więc

$<br /> \sum_{k=0}^n |\cos 2^{k} x| \geq r + (n + 1 - 2r) \cdot \frac{1}{2} = \frac{n+1}{2} > \frac{n}{2}.<br />$

2. Jeśli $k_r=n$ to

$<br /> \sum_{n=1}^{r-1} (|\cos 2^{k_j} x| + |\cos 2^{k_j + 1}x|) \geq r-1,<br />$

a każdy z pozostałych $n - (2r-2)$ składników sumy $|\cos x| + |\cos 2x| + \ldots + |\cos 2^{n-1}x|$ jest większy od $\frac{1}{2}$ , więc

$<br /> |\cos c| + |\cos 2x| + \ldots + |\cos 2^nx| \geq r - 1 + \frac{1}{2} (n + 2 - 2r) = \frac{n}{2}.<br />$

W każdym przypadku zachodzi więc podana nierówność.

Adres źródła: https://archom.ptm.org.pl/?q=node/884