XXXIII OM - I - Zadanie 10

Zawody matematyczne:

XXXIII OM, 1981-1982

Etap:

W trójkącie $ABC$ punkty $A', B', C'$ są odpowiednio środkami boków $\overline{BC}, \overline{CA}, \overline{AB}$ , $H$ jest punktem przecięcia wysokości trójkąta. Okrąg o środku $H$ przecina prosta $B'C', C'A', A'B'$ odpowiednio w punktach $D_1$ i $D_2$ , $E_1$ i $E_2$ , $F_1$ i $F_2$ . Udowodnić, że długości odcinków $\overline{AD_1}, \overline{AD_2}, \overline{BE_1}, \overline{BE_2}, \overline{CF_1}, \overline{CF_2}$ są równe.

Rozwiązanie

Prosta $B'C'$ jest równoległa do $BC$ , jest więc prostopadła do prostej $AH$ zawierającej wysokość $\overline{h_a} = \overline{AA_1}$ opuszczoną na bok $\overline{BC}$ . Prosta $AH$ jest więc symetralną cięciwy $\overline{D_1D_2}$ . Odcinki $\overline{AD_1}$ i $\overline{AD_2}$ mają równe długości. Analogicznie stwierdzamy, że $BE_1 = BE_2$ oraz $CF_1 = CF_2$ , bo proste $A'B'$ i $C'A'$ są odpowiednio prostopadłe do prostych zawierających wysokości $\overline{h_c} = \overline{CC_1}$ i $\overline{h_b} = \overline{BB_1}$ .

Wykażemy, że $AD_1 = BE_1$ . Prosta łącząca środki dwóch boków trójkąta przecina wysokość opuszczoną na trzeci bok w jej środku. Wobec tego jeśli
$K$ jest punktem przecięcia prostych $AH$ i $D_1D_2$ , to $AK = \frac{h_a}{2}$ twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do trójkątów $AKD_1$ i $D_1HK$ , otrzymamy

$ \begin{split} AD^2 = & \left( \frac{h_a}{2} \right)^2 + D_1K^2 = \left( \frac{h_a}{2} \right)^2+ r^2 - \left( AH - \frac{h_a}{2} \right)^2 =\\ & = \left( \frac{h_a}{2} \right)^2 + r^2 - AH^2 + AHh_a- \left( \frac{h_a}{2} \right)^2= r^2 - AH^2 + AH h_a=\\ & = r^2 + AH (h_a - AH). \end{split} $