I OM - B - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

I OM, 1949-1950

Etap:

Znaleźć dwie liczby naturalne $a$ i $b$ mając ich największy wspólny podzielnik
$D=12$ oraz najmniejszą wspólną wielokrotność $M=432$ . Podać sposób poszukiwania
rozwiązań w przypadku ogólnym.

Rozwiązanie

Jeśli największym wspólnym podzielnikiem liczb $a$ i $b$ jest 12, to

$ a=12x,\quad b=12y, $

przy czym liczby $x$ i $y$ są pierwsze względem siebie. W takim razie najmniejszą
wspólną wielokrotnością liczb $12x$ i $12y$ jest $12xy$ , wobec czego

$ 12xy = 432,\quad \text{czyli } xy=36. $

Liczby $x$ i $y$ znajdziemy rozkładając 36 na iloczyn dwóch czynników pierwszych względem siebie.
Istnieją dwa takle rozkłady:

$ 36=1\cdot 36 \quad \text{i} \quad 36= 4\cdot 9. $

Otrzymujemy dwa rozwiązania

$ x=1, y=36 \quad \text{albo} \quad x=4, y=9. $

Szukanymi liczbami są

$ 12\cdot 1 =12 \text{ i } 12\cdot 36 =432 \text{ albo } 12\cdot 4 = 48 \text{ i } 12\cdot 9 = 108. $

W przypadku ogólnym, gdy największym wspólnym podzielnikiem liczb
$a$ i $b$ jest $D$ , a najmniejszą wspólną wlelokrotnością jest
$M$ , rozumujemy tak samo i otrzymujemy równania:

$ a=Dx,\; b=Dy, \quad(\text{$x$ i $y$ - pierwsze względem siebie}), $

a stąd

$ Dxy = M,\text{ i } xy=\frac{M}{D} $

Zadanie ma tyle rozwiązań, iloma sposobami można liczbę
naturalną \frac{M}{D} rozłożyć na dwa czynniki $x$ i $y$ pierwsze względem
siebie. Jedno z rozwiązań stanowią zawsze liczby $D$ i $M$ .