XXXIII OM - I - Zadanie 12

Zawody matematyczne:

XXXIII OM, 1981-1982

Etap:

Niech S będzie zbiorem $n$ ( $n \geq 3$ ) punktów przestrzeni. Dla każdej płaszczyzny $\pi$ rozważamy liczbę $R(\pi)$ równą sumie odległości punktów zbioru $S$ od $\pi$ . Niech $\pi_0$ będzie taką płaszczyzną, że liczba $R(\pi_0)$ jest minimalna. Dowieść, że pewne trzy punkty zbioru $S$ należą do $\pi_0$ .

Rozwiązanie

Udowodnimy najpierw lemat.

Lemat. Figura $\pi$ jest płaszczyzną, a $l$ prostą w niej zawartą. Żaden punkt zbioru $S$ nie należy do $\pi - l$ . Natomiast $\pi_1$ jest płaszczyzną otrzymaną z $\pi$ przez obrót dokoła $l$ aż do napotkania na punkt zbioru $S$ . Wówczas zachodzi następująca nierówność $R(\pi) > R(\pi_1)$ .

Dowód. Dla dowolnego punktu $P_i \in S$ oznaczymy odpowiednio literami: $M_i$ - rzut prostokątny punktu $P_i$ na prostą $l$ , $\alpha_i$ -- miara kąta między prostą $P_iM_i$ a płaszczyzną $\pi$ . Po obrocie płaszczyzny $\pi$ dokoła prostej $l$ o kąt $\varphi$ odległość $P_i$ od obrazu $\pi(\varphi)$ płaszczyzny wynosi albo $P_iM_i \cos (\varphi + \alpha_i)$ , albo $P_iM_i \cos (\varphi - \alpha_i)$ . Na rysunku 5 przedstawiono odpowiadający tej sytuacji rzut na płaszczyznę prostopadłą do $l$ . Występujące tu liczby $\varphi + \alpha_i$ , $\varphi - \alpha_i$ należą do przedziału $\left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$ .

Niech $0 < \varphi_1 < \varphi_2$ i $(\varphi-1, \varphi_2$ ) będzie przedziałem
tak małym, że dla każdego $\varphi$ z tego przedziału po obu stronach płaszczyzny $\pi(\varphi)$ pozostają te same punkty. Funkcja $R(\varphi) = \sum P_iM_i \cos (\varphi \pm \alpha_i)$ ma pochodną $R'(\varphi) =- \sum P_iM_i \sin (\varphi \pm \alpha_i)$ ujemną w przedziale $(\varphi_1, \varphi_2)$ . Nie przyjmuje ona w tym przedziale minimum. Minimum jest więc przyjmowane dla takich $\varphi$ , że $\pi_1 = \pi(\varphi)$ zawiera pewien punkt zbioru $S$ nie należący do osi obrotu $l$ . Wobec tego $R(\pi) > R(\pi_1)$ .

Z lematu wypływają następujące wnioski. Jeżeli płaszczyzna $\pi$ nie zawiera żadnego punktu zbioru $S$ , to dla płaszczyzny $\pi_1$ otrzymanej z $\pi$ przez obrót dookoła dowolnie wybranej osi zawartej w $\pi$ aż do napotkania pierwszego punktu zbioru $S$ spełniona jest nierówność

$ R(\pi) > R(\pi_1). $

Jeżeli płaszczyzna $\pi_1$ zawiera dokładnie jeden punkt zbioru $S$ , to dla płaszczyzny $\pi_2$ , otrzymanej z $\pi_1$ przez obrót dokoła osi zawartej w $\pi_1$ i przechodzącej przez ten punkt aż do napotkania drugiego punktu zbioru $S$ , spełniona jest nierówność

$ R(\pi_1)>R(\pi_2). $

Jeśli płaszczyzna $\pi_2$ zawiera dwa punkty zbioru $S$ (albo więcej punktów zbioru $S$ leżących na jednej prostej), to dla płaszczyzny $\pi_3$ , otrzymanej z $\pi_2$ przez obrót dokoła osi zawierającej te punkty aż do napotkania punktu zbioru $S$ nie należącego do osi obrotu, spełniona jest nierówność

$ R(\pi_2)> R(\pi_3). $

Wynika stąd teza zadania.