XXXIII OM - II - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XXXIII OM, 1981-1982

Etap:

Płaszczyznę pokryto kołami w ten sposób, że środek każdego z tych kół nie należy do żadnego innego koła. Dowieść, że każdy punkt płaszczyzny należy do co najwyżej pięciu kół.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że punkt $A$ należy do sześciu kół z rozważanej rodziny i że $O_1$ , $O_2$ , $O_3$ , $O_4$ , $O_5$ , $O_6$ są środkami tych kół. Wynika stąd, że pewien z kątów $O_iAO_j$ $(i,j = 1, 2, \ldots, 6)$ ma miarę nie większą od $60^\circ$ (sześć spośród kątów $O_iAO_j$ daje w sumie kąt pełny), wobec tego w trójkącie $O_iAO_j$ bok $O_iO_j$ leżący naprzeciw tego kąta nie jest bokiem najdłuższym, gdyż $O_iO_j \leq \max (AO_i,AO_j)$ . Załóżmy, że $O_iO_j \leq AO_i$ . Stąd wynika: $O_j$ należy do koła o środku $O_i$ . Przeczy to założeniu, że środek każdego z danych kół nie jest punktem żadnego innego koła. Wobec tego nie ma punktów płaszczyzny należących do więcej niż pięciu kół danej rodziny.