XXXIII OM - II - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XXXIII OM, 1981-1982

Etap:

Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej $n \geq 2$ zachodzi nierówność

$ \log_n 2 \cdot \log_n 4 \cdot \log_n 6 \ldots \log_n (2n - 2) \leq 1. $

Rozwiązanie

Ponieważ dla liczb nieujemnych $a$ , $b$ zachodzi nierówność

$ (*) \qquad \sqrt{ab} \le \frac{a+b}{2}, $

więc dla $k = 1,2,\ldots,n$ mamy

$ \sqrt{\log_n k \cdot \log_n (2n-k)}\leq \frac{\log_n k + \log_n (2n-k)}{2} = \frac{1}{2} \log_n k(2n _ k). $

Z nierówności (*) wynika również, że

$ k(2n-k) \leq \left( \frac{k + (2n-k)}{2} \right)^2 = n^2, $

$ \frac{1}{2} \log_n k(2n-k) \leq \frac{1}{2} \log_n n^2 = \frac{1}{2} \cdot 2 =1 $

Otrzymujemy nierówności:

$ \sqrt{\log_n k \cdot \log_n (2n - k)} \leq 1, $

oraz

$ \log_n k \cdot \log_n (2n - k) \leq 1. $

Przypuśćmy, że $n$ jest liczbą nieparzystą. Łącząc w iloczynie $\log_n 2 \cdot \log_n 4 \cdot \ldots \cdot \log_n (2n - 2)$ wyraz pierwszy z ostatnim, drugi z przedostatnim itd. otrzymamy iloczyn wyrażeń postaci $\log_n k \log_n (2n - k)$ , z których każda jest na mocy poprzednich rozważań liczbą dodatnią nie większą od $1$ . Wynika stąd żądana nierówność.

Jeśli $n$ jest liczbą parzystą, to analogiczne postępowanie jak dla liczb nieparzystych prowadzi do iloczynu wyrażeń postaci $\log_n k \cdot \cdot \log_n „(2n - k)$ i czynnika $\log_n (2n - n) = \log_n n = 1$ . Zatem i w tym przypadku otrzymujemy nierówność

$ \log_n 2 \cdot \log_n 4 \cdot \ldots \cdot \log_n (2n-2) \leq 1. $