XXXIII OM - II - Zadanie 4

Niech będzie skończonym zbiorem punktów przestrzeni mającym tą własność, że dla dowolnych jego punktów istnieje izometria przestrzeni przeprowadzająca zbiór na zbiór oraz punkt na punkt . Udowodnić że istnieje sfera przechodząca przez wszystkie punkty zbioru .

Rozwiązanie

Niech będzie środkiem ciężkości układu punktów zbioru . Każda izometria przekształcająca zbiór na zbiór przekształca też punkt na . Dla dowolnych izometria przekształcająca na oraz na przekształca odcinek na odcinek . Stąd wynika, że , to jest odległości każdych dwóch punktów zbioru od punktu równe. Wobec tego wszystkie punkty zbioru leżą na pewnej sferze o środku .