XXXIII OM - II - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XXXIII OM, 1981-1982

Etap:

Niech $q$ będzie liczbą parzystą dodatnią. Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej $n$ liczba

$ q^{(q+1)^n}+1 $

dzieli się przez $(q + 1)^{n+1}$ ale nie dzieli się przez $(q + 1)^{n+2}$ .

Rozwiązanie

Przeprowadzimy dowód indukcyjny.

Dla $n = 0$ mamy $q^{(q=1)^0} +1 = q + 1$ . Liczba ta jest podzielna przez
$(q + 1)^{0+1}$ , ale nie przez $(q + 1)^{0+2}$ .

Załóżmy, że dla pewnego $n \geq 0$ są spełnione warunki

$ (q + 1)^{n+1} \mid q^{(q+ 1)^n} \ \textrm{oraz}\ (q + 1)^{n+2} \not \mid q^{(q+1)^n} + 1, $

to jest

$ (*) \qquad q^{(q + 1)^{n}} +1 = (q+ 1)^{n+1} \cdot s, \textrm{gdzie}\ q + 1 \not \mid s. $

Należy pokazać, że również będą spełnione warunki

$ (q + 1)^{n+2} \mid q^{(q+ 1)^{n+1}}+1 \ \textrm{oraz}\ (q + 1)^{n+3} \not \mid q^{(q+1)^{n+1}} + 1. $

Dokonamy, dla parzystych liczb $q$ , następujących przekształceń stosując wzór Newtona i zależność (*).

$ \begin{split} q^{(q + 1)^{n+1}} + 1 &= q^{(q+ 1)^{n} \cdot (q+1)}+1 = [q^{(q + 1)^{n}} +1)-1]^{q+1} +1 = \\ &= [(q + 1)^{n+1}s -1]^{q+1} +1 = \sum_{j=0}^{q+1} \binom{q + 1}{j} (q+1)^{(n+1)j}s^j (-1)^{q+1-j} +1\\ &= -1 + \binom{q + 1}{1} (q + 1)^{n+1}s -\binom{q + 1}{2} (q + 1)^{2(n+1)}s^2 \\ &+ \ldots + \binom{q + 1}{q+1} (q + 1)^{(q+1)(n+1)}s^{q+1}+1 \\ &+ (q+1)(q+1)^{n+1}s - \binom{q+1}{2} (q+1)^{2(n+1)}s^2 + \ldots + (q+1)^{(q+1)(n+1)} s^{q+1}\\ &= (q+1)^{n+2} \left[ s- \binom{q+1}{2} (q+1)^n s^2 + \ldots + (q+1)^{qn+q-1} s^{q+1} \right]. \end{split} $

Suma występująca w ostatnim nawiasie kwadratowym nie dzieli się przez $q + 1$ , gdyż ze wszystkich jej składników tylko $s$ nie dzieli się przez $q + 1$ . Wobec tego otrzymamy wzory