XXXIII OM - III - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XXXIII OM, 1981-1982

Etap:

III

W czworokącie $ABCD$ wpisanym w koło prosta przechodząca przez środek boku $\overline{AB}$ i punkt przecięcia przekątnych jest prostopadła do boku $\overline{CD}$ . Udowodnić, że boki $\overline{AB}$ i $\overline{CD}$ są równoległe lub przekątne czworokąta są prostopadłe.

Rozwiązanie

Niech $O$ będzie punktem przecięcia przekątnych, $E$ - środkiem boku $\overline{AB}$ , $F$ - punktem przecięcia boku $\overline{CD}$ i prostej $EC$ . Ponieważ czworokąt $ABCD$ jest wpisany w koło, więc

$ | \measuredangle BAC| = | \measuredangle BDC| = \alpha, $

$ | \measuredangle ABD| = | \measuredangle ACD| = \beta. $

Wobec tego

$ | \measuredangle BOE| = | \measuredangle DOF| = 90^\circ - \alpha, $

$ | \measuredangle AOE| = | \measuredangle COF| = 90^\circ - \beta. $

Z twierdzenia sinusów zastosowanego kolejno do trójkątów $AOE$ i $BOF$ otrzymujemy

$ \frac{\sin \alpha}{OE} = \frac{\sin (90^\circ - \beta)}{AE},\ \frac{\sin \beta}{OE} = \frac{\sin (90^\circ - \alpha)}{BE} $

Ponieważ $EA = BE$ , więc dzieląc ostatnie równania stronami otrzymamy

$ \frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{\sin(90^\circ - \beta)}{\sin (90^\circ - \alpha)} $

stąd na podstawie odpowiedniego wzoru redukcyjnego

$ \frac{\sin \alpha}{\sin \beta}=\frac{\cos \beta}{\cos \alpha} $

$ \sin \alpha \cos \alpha = \sin \beta cos \beta, $

$ \sin 2 \alpha = \sin 2 \beta. $

Ponieważ $0 < \alpha < 90^\circ$ , $0 < \beta < 90^\circ$ , więc albo a) $2 \alpha = 2 \beta$ , albo b) $2 \gamma = 180^\circ - 2\beta$ . W przypadku a) zachodzi równość $\alpha = \beta$ , a więc proste $AB$ i $CD$ przecięte prostą $AC$ wyznaczają przystające kąty naprzemianległe;

$ |\measuredangle BAC| = |\measuredangle ACD|. $

Wynika stąd, że $AB || CD$ .

W przypadku b) otrzymujemy $\alpha =90^\circ - \beta$ , tj. $\alpha + \beta = 90^\circ$ i w trójkącie $ABO$ jest $|\measuredangle BAC| + |\measuredangle ABO| = 90^\circ$ . Wynika stąd, że $|\measuredangle AOB|= 90^\circ$ , to jest przekątne $\overline{AC}$ i $\overline{BD}$ są prostopadłe.