XXXIII OM - III - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XXXIII OM, 1981-1982

Etap:

III

Wyznaczyć wszystkie pary liczb dodatnich $x, y$ spełniające układ równań

$ \begin{split} x^2 + y^2 &= a^2 + b^2 \\ x^3 + y^3 &= a^3 + b^3 \end{split} $

gdzie $a, b$ są danymi liczbami dodatnimi.

Rozwiązanie

Jeżeli para liczb dodatnich $(x,y)$ spełnia dany układ równań, to $y = \sqrt{a^2 + b^2 - x^2}$ ,

$ x^3 + \sqrt{(a^2 + b^2 - x^2)}^3 - a^3 - b^3 = 0. $

Rozważmy funkcję $f$ określoną w przedziale $(0, \sqrt{a^2 + b^2}$ wzorem

$ f(x) = x^3 + (\sqrt{a^2 + b^2 - x^2})^3 - a^3 - b^3. $

Funkcja ta przyjmuje wartość $0$ dla $x = a$ oraz $x = b$ . Pokażemy, że nie ma ona innych miejsc zerowych. Funkcja $f$ ma pochodną

$ f'(x) = 3x^2 + \frac{3}{2} (a^2 + b^2+ x^2)^{\frac{1}{2}} \cdot (- 2x) = 3x^2 - 3x\sqrt{a^2 + b^2 - x^2}. $

Funkcja $f'$ w przedziale $(0, a^2 + b^2)$ ma tylko jedno miejsce zerowe $x = \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$ ( $3x^2 - 3x \sqrt{a^2 + b^2-x^2}=0$ , $2x^2 = a^2 + b^2$ , $x =\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$ , gdyż $x > 0$ ). Funkcja $F$ ma tylko miejsca zerowe $x = a$ i $x= b$ , gdyż pomiędzy tymi pierwiastkami jest tylko jedno miejsce zerowe pochodnej $x = \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$ . Wobec tego jedynymi rozwiązaniami danego układu równań są pary $(a, b)$ i $(b, a)$ .