I OM - B - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

I OM, 1949-1950

Etap:

Motorówka wyruszyła o godzinie 9 w górę rzeki i w tym
samym momencie wrzucono z motorówki do rzeki piłkę. O godzinie 9
minut 15 motorówka zawróciła i popłynęła w dół rzeki. O której
godzinie motorówka dogoni piłkę?

Rozwiązanie

Na wodzie stojącej motorówka dopłynęłaby z powrotem do
piłki w czasie następnych 15 minut, tj. o godz. 9 min. 30. Tak
samo będzie i na rzece, gdyż prąd wody jednakowo znosi motorówkę
i piłkę. Motorówka dogoni piłkę o godz. 9 min. 30.

Gdyby ktoś nie wpadł na powyższe proste rozumowanie,
mógłby rozwiązać zadanie przy pomocy równań.

Na pozór wydaje się, że w zadaniu za mało jest danych, nie
powiedziano bowiem, jaka była prędkość własna motorówki, czyli
prędkość jej ruchu na wodzie stojącej, ani też - ile wynosiła prędkość
prądu w rzece,

Nie zrażając się tym oznaczmy przez $x$ poszukiwaną ilość
godzin od godziny 9 do chwili, w której motorówka dogoniła piłkę.
Wprowadźmy oprócz tego prędkość prądu $u$ wyrażoną w kilometrach
na godzinę i prędkość $v$ motorówki na wodzie, stojącej również
wyrażoną w kilometrach na godzinę. Dla ułożenia równania
należy wyrazić przy pomocy tych wielkości drogę przebytą
przez piłkę i drogę przebytą przez motorówkę.

W ciągu $x$ godzin piłka przepłynęła z prądem rzeki $xu$ kilometrów.

Motorówka płynęła najpierw przez $\frac{1}{4}$ godziny pod prąd, prędkość
jej wynosiła wówczas $(v - u)$ kilometrów na godzinę, droga
przebyta wynosiła'zatem $\frac{1}{4}(v - u)$ kilometrów; w pozostałym
czasie $(x -\frac{1}{4})$ godzin motorówka płynęła z prądem, więc z prędkością
$(u + v)$ kilometrów na godzinę i przepłynęła $(x - \frac{1}{4})(u + v)$
kilometrów, przebywając w odwrotnym kierunku najpierw odległość
$\frac{1}{4}(v - u)$ kilometrów do miejsca startu, a następnie drogę $xu$
kilometrów, przebytą przez piłkę do miejsca, w którym motorówka'
dogoniła piłkę.

Zatem

$ (x-\frac{1}{4})(u+v) = \frac{1}{4}(v-u)+xu $

Gdy przekształcimy to równanie otwierając nawiasy i zbierając
po jednej stronie wyrazy zawierające $x$ , a po drugiej wyrazy pozostałe,
otrzymamy, równanie

$ xy = \frac{1}{2}v $

Ponieważ prędkość własna motorówki $v$ na pewno nie jest
równa zeru przeto możemy podzielić obie strony równania przez $v$
otrzymujemy

$ x=\frac{1}{2} $

A więc motorówka dogoni piłkę po upływie $\frac{1}{2}$ godziny od chwili wyruszenia, czyli o godz. 9 min. 30.

Okazało się że nieznane wielkości $u$ i $v$ były potrzebne tylko
po to, aby ułożyć równanie. Przy wykonywaniu rachunku wielkości
te znikły, czyli - jak się mówi w matematyce - zostały
wyrugowane. Takie pomocnicze wielkości bywają nazywane parametrami.