XXXIII OM - III - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XXXIII OM, 1981-1982

Etap:

III

Liczby całkowite $x_0, x_1, x_2, \ldots, x_n = x_0, x_{n+1} = x_1$ spełniają dla $k = 1, 2, \ldots, n$ nierówność

$ (-1)^{x_k} \cdot x_{k-1} \cdot x_{k+1} > 0. $

Dowieść, że różnica

$ \sum_{k=0}^{n-1} x_k - \sum_{k=0}^{n-1} |x_k| $

dzieli się przez 4.

Rozwiązanie

Z warunku

$ (-1)^{x_k} \cdot x_{k-1} \cdot x_{k+1} > 0 $

wynika, że $x_k \ne 0$ dla $k = 1, 2, \ldots, n$ . Przyjmując $\varepsilon_k = \frac{x_k}{|x_k|}$ otrzymamy nierówność

$ (-1)^{x_k} \varepsilon_{k-1} \varepsilon_{k+1} |x_{k-1} \cdot x_{k+1}| > 0. $

Stąd dostajemy

$ (*) \qquad (-1)^{x_k} \varepsilon_{k-1} \varepsilon_{k+1} > 0. $

Ponieważ mamy $\varepsilon_k = \pm 1$ więc zachodzi równość $\varepsilon_k = (-1)^{\frac{x_k-1}{2}}$ .

Podstawiamy $\lambda_k = \frac{\varepsilon_k-1}{2}$ . Z nierówności (*) otrzymamy

$ (-1)^{x_k} (-1)^{\lambda_{k+1}} (-1)^{\lambda_{k-1}} > 0, $

$ (-1)^{x_k+\lambda_{k+1}+\lambda_{k-1}} > 0, $

a więc

$ \nr{**} x_k + \lambda_{k+1} + \lambda_{k-1} \equiv 0 \pmod 2. $

Podstawiając $S_n = \sum_{k=0}^{n-1} x_k - \sum_{k=0}^{n-1} |x_k|$ otrzymamy

$ S_n = \sum_{k=0}^{n-1} x_k - |x_k| = \sum_{k=0}^{n-1} |x_k| (\varepsilon_k-1)=\sum_{k=0}^{n-1} 2\lambda_k |x_k|. $

Ponieważ $x_n = x_0$ , $x_{n+1} = x_1$ , więc $\varepsilon_n = \varepsilon_0$ , $\varepsilon_{n+1} = \varepsilon_1$ i $\lambda_n = \lambda_0$ , $\lambda_{n+1} = \lambda_1$ , Ponadto w oparciu o (**) i warunek

$ |x_k| \equiv x_k \pmod 2, $

otrzymamy

$ \begin{split} \frac{S_n}{2} = \sum_{k=0}^{n-1} \lambda_k |x_k| \equiv \sum_{k=1}^{n} \lambda_k x_k \equiv \sum_{k=1}^{n}- \lambda_k (\lambda_{k+1} + \lambda_{k-1})=\\ = - \sum_{k=1}^n \lambda_k \lambda_{k+1} - \sum_{k=1}^n \lambda_k \lambda_{k-1} (mod 2). \end{split} $

Warunek $S_n = 0 (mod 4)$ jest spełniony, gdyż

$ \frac{S_n}{2} = - \sum_{k=1}^n \lambda_k \lambda_{k+1} - \sum_{k=1}^n \lambda_k \lambda_{k-1}= -2 \sum_{k=1}^n \lambda_k \lambda_{k-1} \equiv (mod 2). $