XXXIII OM - III - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

XXXIII OM, 1981-1982

Etap:

III

Udowodnić, że w dowolnym czworościanie suma wszystkich kątów dwuściennych jest większa od $2\pi$ .

Rozwiązanie

Udowodnimy najpierw następujący lemat.

Lemat. Suma miar kątów płaskich przy wierzchołkach kąta trójściennego jest mniejsza od $2\pi$ .

Dowód. Niech $O$ będzie wierzchołkiem kąta trójściennego, $A$ , $B$ , $C$ - punktami leżącymi na poszczególnych krawędziach w równej odległości od $O$ .

Niech $O'$ będzie rzutem prostokątnym punktu $O$ na płaszczyznę $ABC$ . Ponieważ trójkąty równoramienne $AOB$ i $AO'B$ mają wspólną podstawą $AB$ , a pierwszy z nich ma dłuższe ramiona, więc

$ |\measuredangle AOB| < |\measuredangle AO'B|. $

Mamy więc nierówności

$ |\measuredangle BOC| < |\measuredangle BO'C|, $

$ |\measuredangle COA| < |\measuredangle CO'A|, $

więc

$ |\measuredangle AOB| + |\measuredangle BOC| + |\measuredangle COA| < |\measuredangle AO'B| + |\measuredangle BO'C| + |\measuredangle CO'A|. $

Jeżeli punkt $O'$ należy do trójkąta $ABC$ , to oczywiście

$ |\measuredangle AO'B| + |\measuredangle BO'C| + |\measuredangle CO'A| = 2\pi, $

jeżeli natomiast punkt $O'$ leży na zewnątrz trójkąta $ABC$ i na przykład punkt $C$ należy do kąta $AO'B$ (pozostałe przypadki rozważa się analogicznie), to

$ |\measuredangle AO'B| + |\measuredangle BO'C| + |\measuredangle CO'A| = 2|\measuredangle AO'B| < 2\pi . $

Zatem w każdym przypadku otrzymujemy

$ |\measuredangle AOB| + |\measuredangle BOC| + |\measuredangle COA| < 2\pi $

Niech teraz $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , $\delta$ , $\varepsilon$ , $\zeta$ będą kątami dwuściennymi rozważanego czworościanu. W każdym wierzchołku czworościaniu narysujemy wektory normalne (tzn. prostopadłe) do ścian schodzących się w tym wierzchołku. Kąt o mierze $\pi - \varphi$ jest wyznaczony przez wektory normalne do ścian tworzących kąt o mierze $\varphi$ . Suma miar kątów płaskich wyznaczonych przez trójkę wektorów wyprowadzonych z wierzchołka jest na mocy lematu mniejsza od $2\pi$ , suma miar kątów płaskich wyznaczonych przez wektory narysowane we wszystkich wierzchołkach jest więc mniejsza od $8\pi$ . Wśród tych kątów dwukrotnie występuje każdy z kątów o miarach $\pi - |\alpha|, \pi - |\beta|, \ldots, \pi - |\zeta|$ . Wobec tego $2(\pi - |\alpha| + \pi - |beta| + \pi - |\gamma| + \pi - |\delta| + \pi - |\varepsilon| + \pi - |\zeta|) < 8 \pi$ , $|12\pi - 2(|\alpha| + |\beta| + |\gamma| + |\delta| + |\varepsilon| + |\zeta| < 8\pi$ , $2(|\alpha| + |\beta| + |\gamma| + |\delta| + |\varepsilon| + |\zeta|> 4\pi$ , $|\alpha| + |\beta| + |\gamma| + |\delta| + |\varepsilon| + |\zeta| > 2\pi$ .