XXXII - I - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XXXII OM, 1980-1981

Etap:

Dane są ciągi $(x_n)$ , $(y_n)$ liczb rzeczywistych spełniające warunki

$ \begin{split} x_{n+1} %= x_n^3 - 3x_n \\ y_{n+1} = y_n^3 - 3y_n \quad \text{dla } n = 0, 1, 2, \ldots, \\ x_0^2 = y_0 + 2. \end{split} $

Dowieść, że $x_n^2 = y_n + 2$ dla $n = 1, 2,\ldots$ .

Rozwiązanie

Zastosujemy zasadę indukcji matematycznej.

1. Dla $n = 1$ jest $x_1 = x_0^3$ , więc

$ \begin{split} x_1^2 &= (x_0^3-3x_0)^2 = x_0^6-6x_0^4q+9x_0^2 =\\ &=(y_0+2)^3-6(y_0+2)^2+9(y_0+2)=\\ &= y_0^3+6y_0^2+12y_0+8-6y_0^2-24y_0-24+9y_0+18 =\\ &= y_0^3-3y_0+2 = y_1 + 2. \end{split} $

2. Załóżmy, że dla pewnego naturalnego $n$ jest $x^2 = y_n + 2$ , udowodnimy, że $x^2_{n+1} = y_{n +1} + 2$ . Istotnie,

$ \begin{split} x^2_{n+1} &= (x^3_n-3x_n)^2 = x^6_n-6x^4_n+9x_n^2 =\\ &= (y_n+2)^3-6(y_n+2)^2 +9(y_n+2) = \\ &=y^3_n+6y^2_n + 12y_n+ 8- 6y^2_n - 24y_n- 24+9y_n+ 18=\\ & = y_n^3- 3y_n+ 2= y_{n + 1} + 2. \end{split} $

Na mocy zasady indukcji jest $x_n^2 = y_n+2$ dla każdego naturalnego $n$ .

Uwaga. Rozumowanie przeprowadzone w punktach 1 i 2 polega na przeprowadzeniu właściwie tych samych rachunków. Można opuścić rachunki z punktu 1, jeśli tezę sformułować w postaci $x^2_n = y_n+2$ dla $n = 0,1,2,\ldots$ . Wtedy równość dla $n = 0$ ma miejsce na mocy założenia.