XXXII - I - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XXXII OM, 1980-1981

Etap:

Na kuli $K$ opisano stożek $S_1$ . Niech $A$ będzie środkiem okręgu styczności stożka z kulą. Przez wierzchołek stożka $S_1$ poprowadzono płaszczyznę $\Pi$ prostopadłą do osi stożka. Na kuli $K$ opisano drugi stożek $S_2$ , którego wierzchołek leży na płaszczyźnie $\Pi$ . Dowieść, że płaszczyzna okręgu styczności stożka $S_2$ z kulą $K$ przechodzi przez punkt $A$ .

Rozwiązanie

Niech $O$ będzie środkiem kuli, $r$ - długością jej promienia. $W_1$ , $W_2$ wierzchołkami stożków odpowiednio $S_1$ i $S_2$ (rys. 7).

Płaszczyzna wyznaczona przez punkty $O$ , $W_1$ , $W_2$ zawiera punkt $A$ będący środkiem okręgu styczności stożka $S_1$ z kulą $K$ (punkt $A$ leży na odcinku $\overline{OW_1}$ , zawiera też pewną średnicę $\overline{BC}$ tego okręgu, środek $R$ okręgu styczności stożka $S_2$ z kulą $K$ oraz średnicę $\overline{MN}$ tego okręgu. Niech $D$ będzie punktem wspólnym odcinka $\overline{MN}$ i prostej $W_1O$ . Wykażemy, że $D = A$ . Przypuśćmy, że punkt $D$ leży między $M$ i $R$ . Wobec tego $MD = MR-RD$ , $ND = MR+RD$ i $MD \cdot ND = (MR-RD) (MR+RD) = MR^2- RD^2$ . Stosując twierdzenie Pitagorasa do trójkątów $MRW_2$ i $DRW_2$ otrzymamy stąd

$ MD \cdot ND = MW_2^2-RW_2^2 -(DW_2^2-RW_2^2)= MW_2^2-DW_2^2 $

natomiast z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do trójkątów $MW_2O$ oraz $W_1DW_2$ wynika, że

$ \begin{split} MD \cdot ND &= OW_2^2-OM^2-(DW^2_1+W_1W_2^2) = (OW_2^2-W_1W_2^2)-r^2-DW_1 =\\ &= 0W_1^2-r^2-DW_1^2 = (OW_1 -r)(OW_1+r)-DW_1^2. \end{split} $

Z twierdzenia o siecznej i stycznej wynika, że

$ (OW_1-r)(OW_1+r)= W_1B^2, $

więc

$ MD \cdot ND = W_1B^2-DW_1^2. $

Gdyby $DW_1 < AW_1$ , to $MD \cdot DN > W_1B^2-AW_1^2 = AB^2$ , ponieważ zaś $AB^2 = BA \cdot AC$ , więc $MD \cdot DN > BA \cdot AC$ , co nie jest możliwe, bo odcinek $\overline{MN}$ przecina odcinek $\overline{AB}$ w pewnym punkcie $T$ , przy czym $MT \cdot TN = BT \cdot TC \leq AB^2$ . Gdyby było $DW_1 > AW_1$ , to byłoby $W_1O^2-DW_1 < W_1O^2-AW_1^2 = AB^2$ , co też nie jest możliwe. Musi więc być $DW_1 = AW_1$ , skąd wynika, że $A = D$ . Wobec tego punkt $A$ należy do prostej $MN$ , a więc do płaszczyzny okręgu styczności stożka $S_2$ z kulą $K$ .