XXXII - I - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XXXII OM, 1980-1981

Etap:

Wykazać, że jeśli $O$ jesl środkiem, $P$ - dowolnym punktem okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny $A_lA_2A_3$ różnym od punktu styczności, to

$ \sum_{i=1}^3 \frac{1}{\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{A_iP}} =0. $

Rozwiązanie

Ponieważ $\overrightarrow{A_iP} = \overrightarrow{A_iO} + \overrightarrow{OP}$ , więc

$ S = \sum_{i=1}^3 \frac{1}{\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{A_iP}}= \sum_{i=1}^3 \frac{1}{\overrightarrow{OP} \cdot (\overrightarrow{A_iO} + \overrightarrow{OP})}= \sum_{i=1}^3 \frac{1}{\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{A_iO}+ \overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OP}}. $

Jeśli długość promienia okręgu wpisanego wynosi $r$ , to $OP= r$ , $A_iO = 2r$ $(i = 1, 2, 3)$ . Niech $\varphi$ będzie kątem o minimalnej mierze spośród kątów utworzonych przez wektor $\overrightarrow{OP}$ z wektorami $\overrightarrow{A_iP}$ . Wówczas pozostałe kąty są równe $120^\circ- \varphi, 120^\circ+ \varphi$ . Wobec tego

$ \begin{split} S = & \frac{1}{r \cdot 2r \cdot \cos \varphi +r^2} + \frac{1}{r \cdot 2r \cdot \cos(120^\circ-\varphi)+r^2} + \frac{1}{r \cdot 2r \cdot \cos(120^\circ + \varphi)+r^2}=\\ = & \frac{1}{r^2} \left( \frac{1}{2\cos \varphi+1} + \frac{1}{2\cos(120^\circ - \varphi)+1} + \frac{1}{2\cos(120^\circ + \varphi)+1} \right) =\\ = & \frac{1}{r^2} \left( \frac{(2\cos(120^\circ - \varphi)+1)(2\cos(120^\circ + \varphi)+1)}{(2\cos \varphi+1)(2\cos(120^\circ - \varphi)+1)(2\cos(120^\circ + \varphi)+1)}\right.+\\ &\qquad + \frac{(2\cos \varphi+1)(2\cos(120^\circ + \varphi)+1)}{(2\cos \varphi+1)(2\cos(120^\circ - \varphi)+1)(2\cos(120^\circ + \varphi)+1)}\\ &\qquad +\left. \frac{ (2 \cos \varphi +1) (2 \cos (120^\circ - \varphi) +1)}{(2\cos \varphi+1)(2\cos(120^\circ - \varphi)+1)(2\cos(120^\circ + \varphi)+1)}\right) \end{split} $

Wykażemy, że licznik tego ułamka równy jest $0$ . Ponieważ

$ \cos(120^\circ - \varphi) = \cos 120^\circ \cos \varphi + \sin 120^\circ \sin \varphi = -\frac{1}{2} \cos \varphi+ \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \varphi, $

$ \cos(120^\circ + \varphi) = \cos 120^\circ \cos \varphi - \sin 120^\circ \sin \varphi = -\frac{1}{2} \cos \varphi- \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \varphi, $

więc

$ \begin{split} &(2\cos(120^\circ - \varphi )+1) (2\cos(120^\circ + \varphi)+1)+ (2\cos \varphi+1) (2\cos(120^\circ + \varphi )+1) +\\ &+ (2\cos \varphi+1)(2\cos(120^\circ - \varphi)+1) = (-\cos \varphi+\sqrt{3} \sin \varphi+1)(-\cos \varphi-\sqrt{3} \sin \varphi+1)+\\ & + (2\cos \varphi+1) (-\cos \varphi -\sqrt{3} \sin \varphi +1)+ (2 \cos \varphi+1) (-\cos \varphi+ \sqrt{3} \sin \varphi +1) =\\ & = (-\cos \varphi+1)^2- (\sqrt{3} \sin \varphi)^2 + (2\cos \varphi+ 1) (-2\cos \varphi+2) =\\ & = \cos^2 \varphi-2\cos \varphi+1-3\sin^2 \varphi-4\cos^2 \varphi+4\cos \varphi -2\cos \varphi+2 =\\ &= - 3\cos^2 \varphi-3 \sin^2 \varphi+3 = -3+3= 0. \end{split} $

Wynika stąd, że $S = 0$ .