XXXII - I - Zadanie 7

Zawody matematyczne:

XXXII OM, 1980-1981

Etap:

Niech $(x_n)$ będzie ciągiem liczb naturalnych spełniających warunki
a) $x_1 < x_2 < x_3 <\ldots$ ,
b) istnieje takie $j \in \mathbb{N}$ , $j > 1$ , że $x_j = j$ ,
c) $x_{kl} = x_kx_l$ , dla względnie pierwszych $k,l \in \mathbb{N}$ .
Wykazać, że $x_n = n$ dla każdego $n$ .

Rozwiązanie

Ponieważ liczb naturalnych mniejszych od danej liczby naturalnej $n$ jest $n-1$ l, więc jeśli dla pewnego $j$ jest $x_j = j$ , to wobec warunku a) musi być $x_k = k$ dla $k \leq j$ . Jeśli liczba $j$ wymieniona w warunku b) jest większa od $2$ , to liczba $j-1$ jest większa od $1$ oraz jest względnie pierwsza z liczbą $j$ . Jest przy tym $x_{j-1} = j- 1$ , więc na mocy warunku c) jest też $x_{(j-1)j}= (j-1)j$ . Ponieważ $(j-1)^2 < (j-1)j$ , więc $x_{(j-1)^2} = (j-1)^2$ , a wobec tego, że liczby $(j- 1)^2$ oraz $j$ są względnie pierwsze otrzymujemy na mocy c), że $x_{(j- 1)^2j} = (j- 1)^2j$ . Rozumując analogicznie otrzymamy $x_{(j- 1)^mj} = (j- 1)^mj$ dla $m= 1,2,\ldots$ .

Ponieważ dla każdej liczby naturalnej $n$ istnieje $m$ , dla którego $n < (j- 1)^mj$ , więc na mocy tego, co stwierdziliśmy na początku rozwiązania jest $x_n =n$ dla każdego $n$ .

Pozostał do rozpatrzenia przypadek, gdy $j$ wymienione w warunku b) równe jest $2$ . Jest wtedy $x_2 = 2$ . Niech $x_3= 3 + q$ . Wobec tego $x_6 = x_2 \cdot x_3 = 2 \cdot (3 + q) = 6+2q$ . Wobec tego $x_5 <6+2q$ , więc $x_5 \leq 5 + 2q$ , a zatem $x_{10} = x_2x_5 \leq 10+4q$ , stąd $x_9 \leq 9+4q$ , $x_{18} = x_2x_9 \leq 18+8q$ . Z ostatniej nierówności wynika, że $x_{15} \leq 15+8q$ . Z drugiej strony $x_5 \geq x_3 + 2 = 5+q$ , więc $x_{15} = x_3x_5 \geq (3 + q)(5 + q) = 15 + 8q+q^2$ . Otrzymujemy stąd, że

$<br /> 15 + 8q+q^2 \leq 15 + 8q,<br />$

skąd wynika $q = 0$ . Wobec tego jest $x_3 = 3$ i zadanie zostało sprowadzone do rozważonego już wyżej przypadku.