XXXII - I - Zadanie 8

Zawody matematyczne:

XXXII OM, 1980-1981

Etap:

Dany jest punkt $P$ wewnątrz kuli ograniczonej sferą $S$ . Przekształcenie $f: S\to S$ jest określone jak następuje: dla punktu $X \in S$ punkt $f(X) \in S$ , $f(X) \neq X$ oraz $P\in \overline{Xf(X)}$ . Udowodnić, że obrazem dowolnego okręgu zawartego w $S$ w przekształceniu $f$ jest okrąg.

Rozwiązanie

Niech $k$ będzie okręgiem zawartym w sferze $S$ , niech $S_1$ będzie sferą zawierającą $k$ i punkt $P$ , $P_1$ niech będzie takim punktem, że odcinek $\overline{PP_1}$ jest średnicą $S_1$ . Dla każdego $X \in k$ kąt $PXP_1$ jest prosty. Niech $X'$ będzie rzutem prostokątnym punktu $f(X)$ na prostą $PP_1$ . Trójkąty $f(X)PX'$ oraz $P_1PX$ są podobne, więc

$<br /> \frac{PX}{Pf(P)} = \frac{PX}{PP_1},<br />$

$<br /> PX' = \frac{PX \cdot Pf(X)}{PP_1}.<br />$

Wartość ostatniego wyrażenia nie zależy od położenia punktu $X$ na okręgu $k$ na mocy twierdzenia mówiącego, że iloczyn odcinków, na jakie ustalony punkt dzieli cięciwy okręgu, jest stały. Wobec tego dla każdego punktu $X \in k$ rzut punktu $f(X)$ na $PP_1$ jest tym samym punktem. Wynika stąd, że wszystkie obrazy $f(X)$ należą do płaszczyzny prostopadłej do prostej $PP_1$ . Ponieważ obrazy te należą do sfery $S$ , więc należą do części wspólnej sfery i płaszczyzny, tj. do pewnego okręgu $o$ . Wobec tego $f(k) \subset o$ . Ponieważ jednak przekształcenie $f$ jest odwracalne, przy czym $f^{-1} = f$ , a przez analogiczne rozumowanie stwierdzamy, że $f(o) \subset k$ , więc okrąg $o$ jest obrazem okręgu $k$ (i jednocześnie $k$ jest obrazem okręgu $o$ ).