XXXII - I - Zadanie 10

Zawody matematyczne:

XXXII OM, 1980-1981

Etap:

Wyznaczyć wszystkie funkcje $f$ odwzorowujące zbiór wszystkich liczb wymiernych $\mathbb{Q}$ w siebie spełniające następujące warunki:
a) $f(1)=2$ ,
b) $f(xy) = f(x)f(y)-f(x+y)+1$ dla $x, y \in \mathbb{Q}$ .

Rozwiązanie

Jeśli funkcja $f$ spełnia warunki a) i b), to funkcja $g: \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ określona wzorem $g(x) = f(x)- 1$ spełnia warunki

a') $g(1) = 1$

oraz $g(xy)+1 = (g(x)+1)(g(y)+1)-g(x+y)-1+1$ , $g(xy)+1 = g(x)g(y)+g(x)+g(y)+1-g(x+y)$ , tj.

b') $g(xy)+g(x+y) = g(x)g(y)+g(x)+g(y)$ .

Podstawmy w ostatniej równości $y = 1$ . Otrzymamy

$ g(x)+g(x+1)= g(x) \cdot g(1)+g(x)+g(1), $

więc na mocy a')

$ g(x)+g(x+1)= g(x)+g(x)+1. $

Stąd

$ (*) \qquad g(x+1)= g(x)+1. $

Podstawiając w ostatniej równości kolejno $x = 0$ , $x =- 1$ wyznaczymy pamiętając o a')

$ g(1)= g(0)+1,\ \textrm{więc} \ g(0)= 0 $

$ g(0)=g(-1)+1,\ \textrm{więc} g(-1)= -1. $

Przez oczywiste rozumowanie indukcyjne wynika stąd oraz z (*), że

$ g(n)=n $

dla każdej liczby całkowitej $n$ , oraz

$ g(m+x) = m+g(x) $

dla liczby całkowitej $m$ oraz wymiernej $x$ .

Niech teraz $m$ będzie liczbą całkowitą, $n$ - liczbą naturalną.
Dla wyznaczenia $g\left( \frac{m}{n} \right)$ podstawmy w równości b) $x = m$ , $y = \frac{1}{n}$ .

$ g\left( \frac{m}{n} \right) + g\left( m+\frac{1}{n} \right)= g(m) \cdot g\left( \frac{1}{n} \right) + g(m) + g\left( \frac{1}{n} \right). $

Ponieważ $g(m)= m$ i $g\left( m+\frac{1}{n} \right)=m+g \left( \frac{1}{n} \right)$ , więc

$ g\left( \frac{m}{n} \right)+ m + g\left( \frac{1}{n} \right)=m \cdot g \left( \frac{1}{n} \right) + m + g \left( \frac{1}{n} \right), $

$ g \left( \frac{m}{n} \right) = m \cdot g \left( \frac{1}{n} \right). $

Jeśli $m = n$ , to $1 = g(1) = n \cdot g \left( \frac{1}{n} \right)$ , skąd wynika, że

$ g \left( \frac{1}{n} \right)=\frac{1}{n}. $

Wobec tego

$ g \left( \frac{m}{n} \right)=\frac{m}{n}. $

Oznacza to, że jeśli funkcja $g$ spełnia warunki a') i b'), to $g(x) = x$ dla każdego $x$ wymiernego. Wobec tego jeśli funkcja $f$ spełnia warunki a) i b), to $f(x) = x+ 1$ . Z drugiej strony oczywiście funkcja $f$ określona tym wzorem spełnia warunki a) i b). Jedynym rozwiązaniem zadania jest więc funkcja $f: \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ , określona wzorem $f(x) = x+1$ .