XXXII - I - Zadanie 11

Zawody matematyczne:

XXXII OM, 1980-1981

Etap:

Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne $n$ , dla których prawdziwe jest twierdzenie: Jeśli w wielokącie wypukłym o $2n$ bokach wpisanym w koło jest $n-1$ par boków równoległych, to pozostałe dwa boki też są równoległe.

Rozwiązanie

Dwie cięciwy okręgu są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wspólna ich symetralna (przechodząca przez środek $O$ okręgu). Niech $\overline{A_iA_{i+1}}$ , $\overline{B_iB_{i+1}}$ będą równoległymi bokami wielokąta wpisanego w koło dla $i = 1,2,\ldots,2k$ . Pokażemy, że wówczas odcinki $\overline{A_1B_{2k+1}}$ , $\overline{A_{2k+1}B_{1}}$ są równoległe, skąd wyniknie prawdziwość danego twierdzenia dla nieparzystych $n$ . Ponieważ złożenie dwóch symetrii osiowych o osiach przecinających się w punkcie $O$ jest obrotem dokoła punktu $O$ , więc składając kolejno symetrie osiowe, których osiami są wspólne symetralne boków $\overline{A_iA_{i+1}}$ i $\overline{B_iB_{i+1}}$ otrzymamy obrót przekształcający $A_1$ na $A_{2k+1}$ oraz $B_1$ na $B_{2k +1}$ (rys. 9).

Wynika stąd, że $\measuredangle A_1OA_{2k + 1} = \measuredangle Bf_1OB_{2k+ 1}$ . Niech prosta $k$ zawierająca dwusieczną kąta $A_1OB_{2k + 1}$ przecina odcinek $\overline{A_1B_{2k + 1}}$ w punkcie $S$ , natomiast odcinek $\overline{A_{2k+1}B_{1}}$ w punkcie $T$ .

Ponieważ

$ \begin{split} \measuredangle A_{2k +1}OT &= 180^\circ-(\measuredangle A_1OA_{2k+1} + \measuredangle A_1OS)=\\ &= 180^\circ-(\measuredangle B_1OB_{2k +1} + \measuredangle B_{2k + 1}OS)=\measuredangle B_1OT, \end{split} $

więc prosta $k$ jest wspólną symetralną odcinków $\overline{A_1B_{2k+1}}$ i $\overline{A_{2k+1}B_{1}}$ . Wobec tego z równoległości $2k$ par boków wielokąta mającego $2 \cdot (2k+ 1)$ wierzchołków wynika równoległość pozostałej pary boków.

Pokażemy teraz, że dla $n$ parzystego dane twierdzenie nie jest prawdziwe. W tym celu zauważmy, że dla $n = 2k+1$ istnieje wielokąt wpisany w koło mający $2n$ boków, którego każdy bok jest równoległy do pewnego innego oraz istnieje para boków równoległych mających różne długości. Wielokąt taki możemy otrzymać w następujący sposób. Prowadzimy przez środek koła $2k+1$ prostych tak, by dwie sąsiednie tworzyły kąt $\frac{180^\circ}{2k+1}$ . Następnie obieramy na okręgu koła punkt $A$ tak, by nie leżał w środku łuku wyznaczonego przez dwie sąsiednie proste $l_1$ i $l_{2k + 1}$ ani na żadnej z tych prostych. Znajdujemy teraz obraz $A_2$ punktu $A_1$ w symetrii względem prostej $l_1$ , obraz $A_2$ punktu $A_1$ w symetrii względem prostej $l_2$ itd. (rys. 10).

Otrzymamy w ten sposób kolejne wierzchołki $2(2k+1)$ -kąta wpisanego w koło, w którym boki przeciwległe są równoległe (mają wspólną symetralną $l_i$ ), ale mają różne długości, bo $AA_1 = A_2A_3 = \ldots= A_{4k}A_{4k + 1} \ne A_1A_2 = A_3A_4 = \ldots = A_{4k+1}A$ . Niech teraz $n = 2k+2$ . Rozważmy $2(2k+1)$ -kąt $A_1A_2 \ldots A_{2k + 1}B_1B_2 \ldots B_{2k + 1}$ wpisany w koło, w którym wszystkie pary boków przeciwległych są równoległe oraz $A_{2k+1}B_1 \ne A_1 B_{2k+1}$ (ale $A_{2k + 1}B_1 \parallel A_1B_{2k + 1}$ ). Niech $B_{2k+2}$ będzie środkiem łuku $A_1B_{2k + 1}$ , natomiast $A_{2k+2}$ niech będzie punktem przecięcia z okręgiem prostej równoległej do $B_{2k+1}B_{2k+2}$ poprowadzonej przez $A_{2k + 1}$ . Wobec tego w $2(2k+2)$ -kącie $A_1 \ldots A_{2k + 2}B_1 \ldots B_{2k + 2}$ jest $2k+1$ par boków przeciwległych równoległych, ale boki $\overline{A_{2k + 2}B_1}$ i $\overline{A_{1}B_{2k+1}}$ nie są równoległe, bo w przeciwnym razie kąty $A_1B_{2k+1}B_{2k+2}$ i $B_1A_{2k + 1}A_{2k + 2}$ byłyby równe (bo ich odpowiednie ramiona byłyby równoległe), ale są to przecież kąty wpisane oparte na nierównych cięciwach. Przykład tu skonstruowany pokazuje, że twierdzenie nie jest prawdziwe dla parzystych $n$ .

Wobec tego twierdzenie jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy $n$ jest liczbą nieparzystą większą od $1$ .