XXXII - I - Zadanie 12

Zawody matematyczne:

XXXII OM, 1980-1981

Etap:

Dla danej liczby naturalnej $n > 1$ określamy ciąg $(a_0, a_1, \ldots, a_n)$ jak następuje:

$ \begin{split} a_0 &=\frac{1}{2}, \\ a_{k + 1} = a_k + \frac{a_k}{n^2}\quad \text{ dla }\quad k = 0, 1, 2, n - 1. \end{split} $

Udowodnić, że $a_n < 1$ .

Rozwiązanie

Najpierw udowodnimy indukcyjnie, że

$ a_k = \frac{1}{2} \left( 1+ \frac{1}{n^2}\right)^k. $

Dla $k = 0$ jest $\frac{1}{2} \left( 1+ \frac{1}{n^2}\right)^0 = \frac{1}{2} = a_0$ .

Jeśli $a_k = \frac{1}{2} \left( 1+ \frac{1}{n^2}\right)^k$ dla pewnego $k,0 \leq k \leq n-1$ , to

$ a_{k+1}= a_k + \frac{a_k}{n^2}=a_k(1+\frac{1}{n^2})= \frac{1}{2} \left( 1+ \frac{1}{n^2}\right)^{k+1} $

Istotnie więc na mocy zasady indukcji jest

$ a_k = \frac{1}{2} \left( 1+ \frac{1}{n^2}\right)^k \ \textrm{dla} \ k=0,1,\ldots,n. $

W szczególności

$ a_n = \frac{1}{2} \left( 1+ \frac{1}{n^2}\right)^n. $

Na mocy zadania przygotowawczego $K$ jest

$ \left( 1+ \frac{1}{n^2}\right)^n < 2, $

skąd wynika, że $a_n > 1$ .