Opublikowane na Archiwum Olimpiady Matematycznej (https://archom.ptm.org.pl)

XXXII - II - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XXXII OM, 1980-1981

Etap:

II

Udowodnić, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $x_1, x_2, \ldots, x_{1981}$ , $y_1, y_2, \ldots, y_{1981}$ takich, że $\sum_{j=1}^{1981} x_j = 0$ , $\sum_{j=1}^{1981} y_j = 0$ zachodzi nierówność

$<br /> \sqrt{\sum_{j=1}^{1981} (x_j^2+y_j^2)} \leq \frac{1}{\sqrt{2}} \sum_{j=1}^{1981} \sqrt{x_j^2+y_j^2}.<br />$

Rozwiązanie

Ponieważ wszystkie liczby występujące pod znakami pierwiastków są dodatnie, więc podnosząc obie strony do kwadratu otrzymamy nierówność równoważną

$<br /> \sum_{j=1}^{1981} (x_j^2 + y_j^2) \leq \frac{1}{2} \left(<br /> \sum_{j=1}^{1981} (x_j^2 + y_j^2) + 2 \sum_{1 \leq i \leq j \leq 1981} \sqrt{x_i^2 + y_i^2} \cdot \sqrt{x_j^2 + y_j^2} \right),<br />$

$<br /> (*) \qquad<br /> \frac{1}{2} \sum_{j=1}^{1981} (x_j^2 + y_j^2) \leq 2 \sum_{1 \leq i \leq j \leq 1981} \sqrt{x_i^2 + y_i^2} \cdot \sqrt{x_j^2 + y_j^2}.<br />$

Ponieważ $0= \left( \sum_{j=1}^{1981} x_j \right)^2 =\sum_{j=1}^{1981} x_j^2 +<br /> 2 \cdot \sum_{1 \leq i \leq j \leq 1981} x_i x_j$ , więc

$<br /> \sum_{j=1}^{1981} x_j^2 =-2 \sum_{1 \leq i \leq j \leq 1981} x_i x_j<br />$

i analogicznie

$<br /> \sum_{j=1}^{1981} y_j^2 =-2 \sum_{1 \leq i \leq j \leq 1981} y_i y_j,<br />$

a stąd

$<br /> \frac{1}{2} \sum_{j=1}^{1981} (x_j^2 + y_j^2) = -\sum_{1 \leq i \leq j \leq 1981} \sqrt{x_ix_j + y_iy_j}.<br />$

Aby więc udowodnić nierówność (*) wystarczy stwierdzić, że dla każdej pary liczb $i$ , $j$ jest

$<br /> |-(x_ix_j + y_iy_j)| \leq \sqrt{x_i^2 + y_i^2} \cdot \sqrt{x_j^2 + y_j^2}, \ \textrm{tj.}<br />$

$<br /> x_i^2x_j^2 + y_i^2y_j^2 + 2|x-ix_jy_iy_j| \leq (x_i^2 + y_i^2)(x_j^2 + y_j^2).<br />$

Przekształcimy dalej równoważnie

$<br /> x_i^2x_j^2 + y_i^2y_j^2 + 2|x-ix_jy_iy_j| \leq<br /> x_i^2x_j^2 + x_i^2y_j^2 + y_i^2x_j^2 + y_i^2y_j^2,<br />$

$<br /> 2 |x_ix_jy_iy_j| \leq x_i^2y_j^2 + y_i^2x_j^2,<br />$

$<br /> x_i^2y_j^2 + y_i^2x_j^2 - 2 |x_ix_jy_iy_j| \geq 0,<br />$

$<br /> (|x_iy_j| - |x_jy_i|)^2 \geq 0.<br />$

Ostatnia nierówność jest spełniona dla każdych $x_i$ , $y_i$ , $x_j$ , $y_j$ .

Adres źródła: https://archom.ptm.org.pl/?q=node/919