I OM - B - Zadanie 7

Zawody matematyczne:

I OM, 1949-1950

Etap:

Na płaszczyźnie dane są dwie przecinające się proste
$a$ i $b$ i nie leżący na nich punkt $P$ . Poprowadzić przez punkt $P$
prostą przecinającą proste $a$ i $b$ w tahich punktach $A$ i $B$ , że

$<br /> PA = 2\cdot PB<br />$

Rozwiązanie

Niech $AB$ (rys. 2) będzie prostą szukaną.

Poprowadźmy przez punkt $P$ prostą równnoległą do prostej $b$ ; przetnie ona prostą $a$ w punkcie $Q$ .

Według twierdzenia Talesa mamy

$<br /> \frac{AQ}{OQ} = \frac{AP}{BP} = 2, \quad \text{skąd } AQ=2\cdot OQ.<br />$

Konstrukcję wykonywamy zatem wyznaczając punkt $Q$ odmierzając $QA = 2 \cdot OQ$ . Prosta $AP$ będzie prostą szukaną.

Zadanie ma zawsze rozwiązanie, i to tylko jedno.