XXXII - II - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XXXII OM, 1980-1981

Etap:

Dwa okręgi są styczne wewnętrznie w punkcie $P$ . Prosta styczna do jednego z okręgów w punkcie $A$ przecina drugi okrąg w punktach $B$ i $C$ . Udowodnić, że prosta $PA$ jest dwusieczną kąta $BPC$ .

Rozwiązanie

Rozważmy jednokładność o środku $P$ i skali równej stosunkowi długości promienia większego okręgu do długości promienia mniejszego (rys. 11). Jednokładność ta przekształca okrąg mniejszy na większy, a styczną $BC$ na prostą $B_1C_1$ styczną do większego okręgu w punkcie $A_1$ . Proste $BC$ i $B_1C_1$ są równoległe, więc średnica dużego okręgu przechodząca przez $A_1$ jest ich wspólną osią symetrii. Symetria ta przekształca łuk $BA_1$ na łuk $CA_1$ , skąd wynika, że łuki te mają równe długości. Wobec tego kąty $BPA_1$ i $CPA_1$ mają równe miary, a wobec tego prosta $PA$ jest dwusieczną kąta $BPC$ .

Uwaga. Zadanie to było już dane na zawodach stopnia drugiego w XVIII Olimpiadzie Matematycznej.