XXXII - II - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XXXII OM, 1980-1981

Etap:

Udowodnić, że nie istnieje funkcja ciągła $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ spełniająca Warunek $f(f(x)) = - x$ dla każdego $x$ .

Rozwiązanie

Funkcja $f$ spełniająca zadany warunek musiałaby być różnowartościowa, bo jeśli dla pewnych $x_1$ , $x_2$ byłoby $f(x_1) = f (x_2)$ , to $ff(x_1) = ff (x_2)$ , skąd wynikałoby, że $-x_1 =-x_2$ , więc $x_1 = x_2$ . Funkcja ciągła i różnowartościowa musi być monotoniczna. Gdyby $f$ była funkcją rosnącą, to $ff$ byłaby też funkcją rosnącą; gdyby $f$ była funkcją malejącą, to $ff$ byłaby rosnąca (dla $x_1 < x_2$ jest $f(x_1) > f (x_2)$ , więc $ff (x_1) < ff (x_2)$ ). W każdym przypadku otrzymujemy sprzeczność, bo funkcja $g(x)= - x$ jest funkcją malejącą. Wobec tego nie istnieje funkcja ciągła $f$ spełniająca warunek $ff (x) = -x$ .