XXXII - II - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

XXXII OM, 1980-1981

Etap:

Pola powierzchni podstaw danego ostrosłupa trójkątnego ściętego równe są $B_1$ i $B_2$ . Ostrosłup ten można tak przeciąć płaszczyzną równoległą do podstaw, że w każdą z otrzymanych części można wpisać kulę. Udowodnić, że pole powierzchni bocznej danego ostrosłupa równe jest $(\sqrt{B_1} + \sqrt{B_2})(\sqrt[4]{B_1} + \sqrt[4]{B_2})^2$ .

Rozwiązanie

Wyprowadzimy najpierw wzór na pole powierzchni bocznej ostrosłupa ściętego opisanego na kuli. Wzór ten następnie zastosujemy do każdej z części otrzymanych z danego ostrosłupa ściętego w wyniku przekroju. Objętość $V$ ostrosłupa trójkątnego ściętego o polach podstaw $Q_1$ i $Q_2$ , w który wpisano kulę o promieniu $r$ jest równa sumie objętości pięciu ostrosłupów mających wspólny wierzchołek w środku kuli. Dwa z tych ostrosłupów mają podstawy odpowiednio $Q_1$ i $Q_2$ , podstawy pozostałych trzech tworzą powierzchnię boczną $P$ ostrosłupa ściętego. Wobec tego

$ (1) \qquad V= \frac{1}{3}(Q_1 + Q_2+P)r. $

Z drugiej strony ostrosłup ścięty o podstawach $Q_1$ i $Q_2$ oraz wysokości $h$ ma objętość równą różnicy dwóch ostrosłupów podobnych mających podstawy odpowiednio $Q_1$ i $Q_2$ oraz wysokości $h_1$ i $h_2$ spełniające warunek

$ h_1 - h_2 = h $

(zakładamy, że $Q_1 > Q_2$ oraz $h_1 > h_2$ ).
Wobec tego

$ \frac{h_1}{h_2} = \frac{\sqrt{Q_1}}{\sqrt{Q_2}}, $

$ h_1 = \sqrt{\frac{Q_1}{Q_2}}h_2, $

$ \sqrt{\frac{Q_1}{Q_2}}h_2 - h_2 = h, $

$ h_2 = \frac{h}{\sqrt{\frac{Q_1}{Q_2}} - 1}, $

$ h_1 = \frac{h}{\sqrt{1-\frac{Q_2}{Q_1}}}, $

Ponieważ

$ V = \frac{1}{3}Q_1h_1 - \frac{1}{3} Q_2h_2, $

więc

$ V = \frac{1}{3}Q_1 \cdot \frac{h}{1-\sqrt{\frac{Q_2}{Q_1}}} - \frac{1}{3} Q_2 \cdot \frac{h}{\sqrt{\frac{Q_1}{Q_2}} - 1}, $

$ V = \frac{1}{3}h \cdot \left( \frac{Q_1}{1-\sqrt{\frac{Q_2}{Q_1}}} - \frac{Q_2}{ \sqrt{\frac{Q_1}{Q_2}} - 1} \right), $

$ V = \frac{1}{3}h \cdot \left( \frac{Q_1 \left( 1+ \sqrt{\frac{Q_2}{Q_1}} \right)}{1-\frac{Q_2}{Q_1}} - \frac{Q_2 \left( \sqrt{\frac{Q_1}{Q_2}}+1 \right)}{ \frac{Q_1}{Q_2} - 1} \right), $

$ V = \frac{h}{3} \cdot \left( \frac{Q_1^2 \left( 1+ \sqrt{\frac{Q_2}{Q_1}} \right)}{Q_1-Q_2} - \frac{Q_2^2 \left( \sqrt{\frac{Q_1}{Q_2}}+1 \right)}{ Q_1-Q_2} \right), $

$ V = \frac{h}{3} \cdot \frac{Q_1^2 + Q_1\sqrt{Q_1Q_2} -Q_2 \sqrt{Q_1Q_2}-Q_2^2} { Q_1-Q_2}, $

$ V = \frac{h}{3} \cdot (Q_1 + Q_2 + \sqrt{Q_1Q_2}). $

Porównując wzory (1) i (2) oraz uwzględniając fakt, że $h=2r$ otrzymujemy

$ \frac{2r}{3} (Q_1+Q_2+ \sqrt{Q_1Q_2})= \frac{r}{3}(Q_1+Q_2+P), $

$ Q_1 + Q_2 + P=2(Q_1 + Q_2+ \sqrt{Q_1Q_2}), $

$ P = Q_1 + Q_2 + 2\sqrt{Q_1Q_2}, $

$ P = (\sqrt{Q_1} + \sqrt{Q_2})^2. $

Dany w zadaniu ostrosłup ścięty jest sumą dwóch podobnych ostrosłupów ściętych opisanych na kulach, przy czym podstawy jednego z nich mają pola $B_1$ , $C$ , podstawy drugiego - $C$ , $B_2$ . Stąd