XXXII - III - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XXXII OM, 1980-1981

Etap:

III

W przestrzeni dane są dwie przecinające się proste $a$ i $b$ . Rozważamy wszystkie pary płaszczyzn $\alpha$ i $\beta$ prostopadłych i takich, że $a\subset \alpha$ , $b\subset \beta$ . Dowieść, że istnieje taki okrąg, że przez każdy jego punkt przechodzi prosta $\alpha \cap \beta$ dla pewnych $\alpha, \beta$ .

Rozwiązanie

Rozróżnimy dwa przypadki.

1. Jeśli proste $a$ i $b$ są prostopadłe, to rozważmy płaszczyznę $\alpha$ prostopadłą do prostej $b$ zawierającą prostą $a$ i weźmy pod uwagę dowolny okrąg zawarty w tej płaszczyźnie. Dla dowolnego punktu $A$ tego okręgu poprowadźmy płaszczyznę $\beta$ zawierającą prostą $b$ i punkt $A$ . Oczywiście prosta $\alpha \cap \beta$ spełnia warunki zadania.

2. Załóżmy, że proste $a$ i $b$ nie są prostopadłe, niech $A$ będzie punktem ich przecięcia. Poprowadźmy płaszczyznę $\gamma$ prostopadłą do prostej $a$ i przecinającą ją w punkcie $B$ różnym od $A$ . Prosta $b$ nie jest równoległa do tej płaszczyzny (w przeciwnym przypadku byłaby prostopadła do $a$ ), niech $C$ będzie punktem wspólnym prostej $b$ i płaszczyzny $\gamma$ . Pokażemy, że okrąg $k$ o średnicy $\overline{BC}$ spełnia wymagania zadania. Dla punktu $B$ przyjmijmy jako $\alpha$ płaszczyznę wyznaczoną przez proste $a$ i $b$ , jako $\beta$ - płaszczyznę do niej prostopadłą przecinającą ją wzdłuż prostej $a$ ; dla punktu $C$ jako $\alpha$ również płaszczyznę wyznaczoną przez $a$ i $b$ , jako $\beta$ płaszczyznę do niej prostopadłą przecinającą $\alpha$ wzdłuż prostej $b$ .

Niech $X$ będzie punktem okręgu $k$ różnym od $B$ i $C$ (rys. 13). Rozważmy płaszczyzny $\alpha = ABX$ i $\beta = ACX$ . Płaszczyzna $\alpha$ zawiera prostą $a$ prostopadłą do płaszczyzny $\gamma$ , więc jest prostopadła do $\gamma$ . Prosta $CX$ zawarta w płaszczyźnie $\gamma$ jest prostopadła do prostej $BX$ (bo kąt $BCX$ jest kątem wpisanym opartym na średnicy), a więc do krawędzi przecięcia płaszczyzn prostopadłych $\alpha$ i $\gamma$ . Wynika stąd, że prosta $CX$ jest prostopadła do płaszczyzny $\alpha$ . Wobec tego płaszczyzna $\beta$ zawierająca prostą $BX$ jtst prostopadła do płaszczyzny $\alpha$ . Istotnie więc płaszczyzny $\alpha$ i $\beta$ są prostopadłe, $a \subset \alpha$ , $b \subset \beta$ , prosta $\alpha \cap \beta$ przechodzi przez punkt $X$ .

Dla dowolnego punktu okręgu o średnicy $\overline{BC}$ wskazaliśmy więc płaszczyzny $\alpha$ i $\beta$ mające wymagane własności.