XXXII - III - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XXXII OM, 1980-1981

Etap:

III

Symetralne boków $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$ trójkąta $ABC$ przecinają prostą zawierającą bok $\overline{BC}$ w punktach $X$ i $Y$ . Dowieść, że $BC = XY$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\tan B \cdot \tan C= 3$ lub $\tan B\cdot \tan C=-1$ .

Rozwiązanie

Niech $M$ , $N$ , będą odpowiednio środkami boków $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$ (rys. 14).

$ \overrightarrow{BX} = \frac{BM}{\cos B} \cdot \frac{\overrightarrow{BC}}{BC} = \frac{AB}{2 \cos \beta \cdot BC} \cdot \overrightarrow{BC},\ \overrightarrow{CY} = \frac{CN}{\cos C} \cdot \frac{\overrightarrow{CB}}{BC} = -\frac{AC}{2 \cos C \cdot BC} \cdot \overrightarrow{BC}, $

(jeśli $B = \frac{\pi}{2}$ lub $C = \frac{\pi}{2}$ , to jedna z symetralnych nie przecina prostej $BC$ , więc przypadku tego można nie rozpatrywać). Wobec tego

$ \overrightarrow{XY}= - \overrightarrow{BX}+\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CY}= -\frac{AB}{2 \cos B \cdot BC} \cdot \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BC} - \frac{AC}{2 \cos C \cdot BC} \overrightarrow{BC}, $

$ \overrightarrow{XY}= \left( -\frac{AB}{2 \cos B \cdot BC} +1 - \frac{AC}{2 \cos C \cdot BC} \right) \cdot \overrightarrow{BC}, $

i równość $BC = XY$ ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy

$ (*) \qquad 1 = \left| -\frac{AB}{2 \cos B \cdot BC} + 1 - \frac{AC}{2 \cos C \cdot BC} \right|. $

Z twierdzenia sinusów zastosowanego do trójkąta $ABC$ wynika

$ AB = \frac{BC}{\sin A} \cdot \sin C, \ AC = \frac{BC}{\sin A} \cdot \sin B, $

więc równość (*) jest równoważna równości

$ 1 = \left| -\frac{\frac{BC}{\sin A} \cdot \sin C}{2 \cos B \cdot BC} + 1 - \frac{\frac{BC}{\sin A} \cdot \sin B}{2 \cos C \cdot BC} \right|, \textrm{tj.} $

$ 1 = \left|1 - \frac{\sin C}{2 \sin A \cdot \cos B} - \frac{\sin B}{2 \sin A \cdot \cos C} \right|, $

$ 1 = \left|1 - \frac{\sin C \cdot \cos C + \sin B \cdot \cos B}{2 \sin A \cos B \cos C} \right|. $

Ponieważ $A = \pi - (B+C)$ , więc $\sin A = \sin(B+ C)= \sin B\cos C+\cos B\sin C$ , wobec czego równość (*) jest równoważna równości

$ 1 = \left|1 - \frac{\sin C \cdot \cos C + \sin B \cdot \cos B}{2 (\sin B \cos C + \cos B \sin C) \cos B \cos C} \right|. $

Dzielimy licznik i mianownik przez $\cos^2B \cos^2 C$ :

$ 1 = \left|1 - \frac{\tan C \cdot \frac{1}{\cos^ B} + \tan B \cdot \frac{1}{\cos^2 B}}{2 (\tan B + \tan C)} \right| $

i przekształcamy dalej równoważnie stosując zależność $\frac{1}{\cos^2 x} = \tan^2 x +1$ .

$ 1 = \left|1 - \frac{\tan C (\tan^2 B +1) + \tan B (\tan^2 C +1)} {2 (\tan B + \tan C)} \right|, $

$ 1 = \left|1 - \frac{\tan B \tan C (\tan B +\tan C) + (\tan B +\tan C)} {2 (\tan B + \tan C)} \right|, $

$ 1 = \left|1 - \frac{(\tan B \tan C+1) (\tan B +\tan C)}{2 (\tan B + \tan C)} \right|, $

$ 1 = \left|1 - \frac{(\tan B \tan C+1)}{2} \right|, $

$ 1 = \left|\frac{1}{2} - \frac{(\tan B \tan C)}{2} \right|, $

$ 2 = \left|1- \tan B \tan \right|. $

Ostatnia równość ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy $2= 1-\tan B \tan C$ albo $2=-(1-\tan B \tan C)$ , tj.

$ \tan B \tan C = - 1 \ \textrm{albo}\ \tan B \tan C = 3. $

Pierwszy z tych przypadków ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy $\overrightarrow{BX} = \overrightarrow{CY}$ , to zaś jest możliwe tylko wtedy, gdy jeden z kątów $B$ lub $C$ jest rozwarty, drugi przypadek może mieć miejsce tylko dla trójkąta ostrokątnego.