XXXII - III - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XXXII OM, 1980-1981

Etap:

III

Dowieść, że dla dowolnej liczby naturalnej $n$ oraz liczb rzeczywistych $\alpha$ , $x$ spełniających nierówności $\alpha^{n-1} \leq x \leq 1$ , $0 < \alpha <1$ zachodzi nierówność

$ \prod_{k=1}^n \left| \frac{x-\alpha^k}{x+\alpha^k} \right|\leq \prod_{k=1}^n \frac{1-\alpha^{k}}{1+\alpha^{k}} $

Rozwiązanie

Istnieje liczba całkowita $m \geq 0$ , dla której

$ \alpha^{m+1} < x \leq \alpha^m. $

Wobec tego dla $k= 1,2,\ldots,n$ jest

$ \alpha^k-x \geq \alpha^k - \alpha^m, $

$ x+\alpha^k \leq \alpha^k + \alpha^m, $

więc

$ (1) \qquad \frac{\alpha^k-x}{x+\alpha^k} \geq \frac{\alpha^k - \alpha^m}{\alpha^k + \alpha^m}, $

natomiast

$ (2) \qquad \frac{\alpha^k-x}{x+\alpha^k} \geq \frac{\alpha^k - \alpha^{m+1}}{\alpha^k + \alpha^{m+1}}. $

Ponieważ

$ \prod_{k=1}^n \left| \frac{x-\alpha^k}{x+\alpha^k} \right|= \prod_{k=1}^m \frac{\alpha^k-x}{x+\alpha^k} \cdot \prod_{k=m+1}^n \frac{x-\alpha^k}{x+\alpha^k}, $

więc na mocy (1) i (2)

$ \begin{split} \prod_{k=1}^n \left| \frac{x-\alpha^k}{x+\alpha^k} \right| &\leq \prod_{k=1}^m \frac{\alpha^k-\alpha^{m+1}}{\alpha^k+\alpha^{m+1}} \cdot \prod_{k=m+1}^n \frac{\alpha^m-\alpha^k}{\alpha^m+\alpha^k}=\\ &=\prod_{k=1}^m \frac{1-\alpha^{m+1-k}}{1+\alpha^{m+1-k}} \cdot \prod_{k=m+1}^n \frac{1-\alpha^{k-m}}{1+\alpha^{k-m}}=\\ &=\prod_{k=1}^m \frac{1-\alpha^{k}}{1+\alpha^{k}} \cdot \prod_{k=m+1}^n \frac{1-\alpha^{k-m}}{1+\alpha^{k-m}}. \end{split} $

Ponieważ

$ \begin{split} \frac{1-\alpha^{k-m}}{1+\alpha^{k-m}}- \frac{1-\alpha^{k}}{1+\alpha^{k}}&= \frac{1+\alpha^{k}-\alpha^{k-m}-\alpha^{m}-1-\alpha^{k-m}+\alpha^{k}+\alpha^{m}} {(1+\alpha^{k-m})(1+\alpha^{k})}=\\ &=\frac{2\alpha^{k}-2\alpha^{k-m}}{(1+\alpha^{k-m})(1+\alpha^{k})} \leq 0 \end{split} $

więc

$ \frac{1-\alpha^{k-m}}{1+\alpha^{k-m}} \leq \frac{1-\alpha^{k}}{1+\alpha^{k}} $

skąd wynika, że

$ \prod_{k=1}^n \left| \frac{x-\alpha^{k}}{x+\alpha^{k}} \right| \leq \prod_{k=1}^m \frac{1-\alpha^{k}}{1+\alpha^{k}} \cdot \prod_{k=m+1}^n \frac{1-\alpha^{k}}{1+\alpha^{k}} = \prod_{k=1}^n \frac{1-\alpha^{k}}{1+\alpha^{k}}. $