XXXII - III - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XXXII OM, 1980-1981

Etap:

III

Wyznaczyć wszystkie pary liczb całkowitych $(x,y)$ spełniające równanie

$ x^3 + x^2y + xy^2 + y^3 = 8(x^2 + xy + y^2 + 1). $

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że jeśli para liczb całkowitych $(x, y)$ jest rozwiązaniem danego równania, to liczby $x$ i $y$ są tej samej parzystości, gdyż w przeciwnym razie lewa strona równania przyjmowałaby wartość nieparzystą, prawa zaś - wartość podzielną przez $8$ . Ponadto sprawdzamy bezpośrednio, że żadna para liczb równych nie jest rozwiązaniem, gdyż jeśli $x = y$ , to równanie przyjmuje postać $4x^3 = 24x^2 + 8$ , tj. $x^3 -6x^2-2 = 0$ . Ewentualnymi rozwiązaniami całkowitymi mogłyby być ewentualnie dzielniki wyrazu wolnego, tj. liczby $1, - 1, 2, - 2$ . Przez podstawienie sprawdzamy, że żadna z tych liczb nie spełnia równania. Wobec tego, jeśli para $(x, y)$ liczb całkowitych jest rozwiązaniem równania, to $x \ne y$ , skąd wynika, że

$ x^2+y^2 > 2|xy|, $

natomiast z faktu, że $x$ i $y$ są liczbami tej samej parzystości wynika, że $|x| -|y| = 2k$ , zatem

$ x^2 + y^2-2|xy| = 4k^4 $

i wobec tego

$ (*) \qquad x^2 + y^2 \geq 2|xy| + 4 > |2xy+2|. $

Dane równanie możemy przekształcić równoważnie

$ (x^2+y^2)(x + y)= 8(x^2 + y^2) + 8xy + 8, $

$ (**) \qquad (x^2 + y^2)(x+y-8)= 8xy+8. $

Biorąc po obu stronach wartość bezwzględną stwierdzamy, że

$ |x^2 + y^2| \cdot |x + y-8| = |8xy + 8|, $

$ (x^2 + y^2) \cdot |x+y-8| = 4|2xy+2|, $

więc wobec nierówności (*) otrzymujemy

$ |x+y-8| < 4, $

$ -4 < x+y-8 < 4, $

$ 4 < x+y < 12. $

Jeśli więc liczby $x$ , $y$ spełniają dane równanie, to $x+y = 6$ lub $x+y= 8$ lub $x+y = 10$ , tj. a) $y= 6-x$ lub b) $y= 8 -x$ lub c) $y= 10-x$ . Podstawiając do równania (**) otrzymujemy kolejno
a)

$ (x^2+(6-x)^2)(-2)= 8x(6-x)+8, $

$ x^2 + 36 - 12x + x^2= -4x(6-x)-4, $

$ 2x^2-12x+36 = -24x+4x^2-4, $

$ -2x^2+12x+40 = 0, $

$ x^2-6x-20=0. $

Równanie to nie ma rozwiązań całkowitych, bo jego wyróżnik $\Delta = 36+80 = 116$ .

$ (x^2+(8-x)^2) \cdot 0 = 8x(8-x)+8, $

$ x(8-x)+1=0, $

$ 8x-x^2+1 = 0, $

$ x^2-8x-1 = 0. $

To równanie również nie ma rozwiązań całkowitych, bo $\Delta = 64+4 = 68$ .

$ x^2+(10-x)^2-2 = 8x(10-x)+8, $

$ x^2+100-20x+x^2 = 4x(10-x)+4, $

$ 2x^2-20x+ 100 = 40x-4x^2 + 4, $

$ 6x^2-60x+96 = 0, $

$ x^2-10x+16 = 0. $

Równanie to ma dwa pierwiastki całkowite $x_1 = 2$ , $x_2 = 8$ .

Przeprowadzone tu rozumowanie pokazuje, że jeśli dane równanie ma rozwiązania w liczbach całkowitych, to mogą to być jedynie rozwiązania $x_1 = 2$ , $y_1 = 10-2= 8$ lub $x_2 = 8$ , $y_2 = 10-8 = 2$ . Sprawdzamy przez podstawienie, że istotnie pary $(2,8)$ oraz $(8,2)$ stanowią rozwiązania równania.