I OM - B - Zadanie 8

Zawody matematyczne:

I OM, 1949-1950

Etap:

Dowieść, że wysokości trójkąta ostrokątnego są dwusiecznymi kątów trójkąta, którego wierzchołkami są spodki tych wysokości.

Rozwiązanie

Niech $S$ będzie punktem przecięcia wysokości $AM$ , $BN$ i $CP$ trójkąta ostrokątnego $ABC$ (rys. 3).

Czworokąt $SMCN$ , w którym kąty przy wierzchołkach $M$ i $N$ są proste, jest czworokątem wpisanym w okrąg o średnicy $SC$ ; zatem

$<br /> \measuredangle SMN = \measuredangle SCN<br />$

(kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe).

Podobnie też, w czworokącie $SMBP$ mamy

$<br /> \measuredangle SMP = \measuredangle SBP<br />$

Lecz $\measuredalngle SCN = \measuredangle SBP$ , gdyż każdy z tych kątów równa się
$90^{\circ} - \measuredangle BAC$ ; zatem $\measuredangle SMN = \measuredangle SMP$ .

Istotnie więc wysokość $AM$ jest dwusieczną kąta $NMP$ .

Uwaga. W trójkącie rozwartokątnym (rys. 4) wysokość $AM$ poprowadzona z wierzchołka kąta
rozwartego $A$ jest dwusieczną kąta $NMP$ , a pozostałe dwie wysokości są dwusiecznymi kątów zewnętrznych
trójkąta $MNP$ ; uzasadnienie jest analogiczne do poprzedniego.