XXXI - I - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XXXI OM, 1979-1980

Etap:

Zbadać dla jakich wartości parametru $a$ romb o boku długości $a$ jest przekrojem sześcianu o krawędzi długości 2 płaszczyzną przechodzącą przez środek sześcianu.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że romb $KLMN$ jest przekrojem sześcianu $ABCDA_1B_1C_1D_1$ płaszczyzną przechodzącą przez środek sześcianu $O$ . Ponieważ $O$ jest też środkiem symetrii przekroju, więc przeciwległe wierzchołki rombu leżą na przeciwległych krawędziach sześcianu. Niech np. jak na rysunku $K \in \overline{AB}$ , $L \in \overline{A_1B_1}$ , $M \in \overline{C_1D_1}$ , $N \in \overline{CD}$ . Ponieważ $O$ jest środkiem symetrii sześcianu, więc $AK = MC_1$ , $A_1L = NC$ . Przypuśćmy, że $K$ nie jest środkiem krawędzi $\overline{AB}$ . Odwzorujmy ściany sąsiednie $ABB_1A_1$ i $A_1B_1C_1D_1$ na siatkę sześcianu.

Trapezy prostokątne $AKLA_1$ i $LB_1C_1M$ są przystające, gdyż są sumami przystających prostokątów i przystających trójkątów prostokątnych. Wynika stąd, że $A_1L = B_1L$ , tzn. $L$ jest środkiem odcinka $\overline{A_1B_1}$ i wobec tego $N$ jest środkiem $\overline{CD}$ . Wykazaliśmy w ten sposób, że pewne dwa przeciwległe wierzchołki rombu są środkami krawędzi sześcianu, na których leżą. Bok rombu jest więc odcinkiem łączącym środek krawędzi z pewnym punktem przeciwległego) boku ściany, która jest kwadratem o boku długości $2$ . Długość takiego odcinka jest nie mniejsza od $2$ i nie większa od $\sqrt{5}$ , przy czym każdą wartość z przedziału $[2, \sqrt{5}]$ możemy osiągnąć obierając właściwie punkt $K$ na boku $\overline{AB}$ .