XXXI - I - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XXXI OM, 1979-1980

Etap:

Dowieść, że dla dowolnych liczb dodatnich $a, b, x, y, \alpha$ prawdziwa jest nierówność

$ \frac{a^{\alpha+1}}{x^{\alpha}} + \frac{b^{\alpha+1}}{y^{\alpha}} \leq \frac{(a+b)^{\alpha+1}}{(x+y)^{\alpha}} $

Rozwiązanie

Daną nierówność dzielimy obustronnie przez liczbę dodatnią $\displaystyle \frac{(a+b)^{\alpha+1}}{(x+y)^\alpha}$ , otrzymamy równoważną nierówność

$ \frac{a^{\alpha+1}(x+y)^{\alpha}}{(a+b)^{\alpha+1} x^\alpha} + \frac{b^{\alpha+1}(x+y)^{\alpha}}{(a+b)^{\alpha+1} y^\alpha} \geq 1. $

Przyjmując

$ t = \frac{x}{x+t}, \ c = \frac{a}{a+b} $

przekształcimy tę nierówność do równoważnej postaci

$ (*) \qquad \frac{c^{\alpha+1}}{t^\alpha} + \frac{(1-c)^{\alpha+1}}{(1-t)^\alpha} \geq 1. $

Dla udowodnienia prawdziwości nierówności (*) rozważmy funkcję

$ f(t) = \frac{c^{\alpha+1}}{t^\alpha} + \frac{(1-c)^{\alpha+1}}{(1-t)^\alpha} $

określoną w przedziale $(0, 1)$ . Obliczmy pochodną tej funkcji.

$ f'(t) = -\alpha \frac{c^{\alpha+1}}{t^{\alpha+1}} - \alpha \frac{(1-c)^{\alpha+1}}{(1-t)^{\alpha+1}} \cdot (-1), $

$ f'(t) = \alpha \left[ \frac{(1-c)^{\alpha+1}}{(1-t)^{\alpha+1}} - \frac{(c)^{\alpha+1}}{(t)^{\alpha+1}} \right]. $

Pochodna ta przyjmuje wartość $0$ , gdy $\displaystyle \left( \frac{1-c}{1-t} \right)^{\alpha+1}= \left( \frac{c}{t} \right)^{\alpha+1}$ , a więc, gdy $\displaystyle \frac{1-c}{1-t} = \frac{c}{t}$ , a zatem gdy $(1-c)t=(1-t)c$ , $t-ct=c-tc$ , $t=c$ . Jedynym miejscem zerowym pochodnej jest $t = c$ . Ponieważ $\displaystyle \lim_{t \to 0} f(t) = +\infty$ oraz $\displaystyle \lim_{t \to 1} f(t) = + \infty$ , więc dla $t = c$ funkcja $f(t)$ przyjmuje minimum. Ponadto