XXXI - I - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XXXI OM, 1979-1980

Etap:

Udowodnić, że jeśli wielomian o współczynnikach całkowitych przyjmuje wartość 1 dla czterech różnych argumentów całkowitych, to dla żadnego argumentu całkowitego nie przyjmuje wartości -1.

Rozwiązanie

Liczby całkowite $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , dla których dany wielomian $w(x)$ przyjmuje wartość $1$ są pierwiastkami wielomianu $w(x) - 1$ . Ten ostatni wielomian jest więc podzielny przez $x-a$ , $x-b$ , $x-c$ , $x-d$ a wobec tego w $w(x) -1 = (x - a) (x - b) (x - c) (x - d) \cdot v (x)$ , gdzie $v (x)$ jest pewnym wielomianem o współczynnikach całkowitych. Gdyby było $w(k) = - 1$ dla pewnego całkowitego $k$ , to byłoby $w(k) - 1 = -2$ , więc $(k - a) (k - b) (k - c) (k - d) \cdot v(k) = -2$ . Ostatnia równość przedstawia liczbę $-2$ w postaci iloczynu liczb całkowitych $k - a$ , $k - b$ , $k - c$ , $k - d$ , $v(k)$ , wśród których pierwsze cztery są parami różne. Wobec tego co najwyżej jedna z liczb $k-a$ , $k-b$ , $k-c$ , $k-d$ jest równa $1$ , co najwyżej jedna z nich jest równa $-1$ , co najmniej dwie mają wartość bezwzględną większą od $1$ . To prowadzi jednak do sprzeczności z faktem, że $2$ jest liczbą pierwszą. Nie może więc być $w(k) = -1$ dla żadnego całkowitego $k$ .