XXXI - I - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XXXI OM, 1979-1980

Etap:

Znany matematyk profesor Iks grywa ze swoim asystentem magistrem Igrekiem w następującą grę. Iks podaje Igrekowi skończony ciąg wektorów $\overrightarrow{a_1}, \overrightarrow{a_2}, \ldots, \overrightarrow{a_n}$ ; wszystkie te wektory leżą w jednej płaszczyźnie i każdy ma długość 1. Igrek znając te wektory podaje ciąg znaków, tj. ciąg liczb $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \ldots, \varepsilon_n$ , $\varepsilon _j = 1$ lub $\varepsilon _j = -1$ ( $j = 1, 2, \ldots, n$ ). Następnie gracze rozpatrują ciąg wektorów $\varepsilon_1 \overrightarrow{a_1} + \varepsilon_2 \overrightarrow{a_2} + \ldots + \varepsilon_k \overrightarrow{a_k}$ ( $k = 1, 2, \ldots, n$ ). Wygrywa Iks,
jeśli długość choćby jednego z wektorów $s_1, s_2, \ldots, s_n$ jest większa lub równa 3, w przeciwnym razie wygrywa Igrek. Udowodnić, że Igrek zawsze może tak wybrać ciąg znaków, by wygrać.

Rozwiązanie

Opiszemy indukcyjnie strategię Igreka. $\varepsilon_1$ można wybrać dowolnie np. $\varepsilon_1 = 1$ . Następnie należy tak wybrać $\varepsilon_2$ , by wektor $\varepsilon_1 \overrightarrow{a_1} + \varepsilon_2 \overrightarrow{a_2}$ miał długość mniejszą od $2$ . W przypadku, gdy wektory $\overrightarrow{a_1}$ i $\overrightarrow{a_2}$ nie są równoległe można wybrać $\varepsilon_2$ dowolnie, jeśli $\overrightarrow{a_1}$ i $\overrightarrow{a_2}$ są równoległe - należy tak określić $\varepsilon_2$ , by wektory $\varepsilon_1 \overrightarrow{a_1}$ i $\varepsilon_2 \overrightarrow{a_2}$ miały przeciwne zwroty. Następnie Igrek wybiera znaki przy kolejnych parach wektorów, a więc $\varepsilon_3$ i $\varepsilon_4$ , w następnej kolejności $\varepsilon_5$ i $\varepsilon_6$ itd. dopóki jest to możliwe. Przypuśćmy, że dobrał on już znaki $\varepsilon_1, \ldots, \varepsilon_k$ w ten sposób, że dla pary punktów $(O, A)$ reprezentującej wektor $\overrightarrow{s_k}$ punkt $A$ leży wewnątrz koła $k (O, 2)$ i przypuśćmy, że pozostały jeszcze co najmniej dwa wektory. Rozważmy cztery wektory $\overrightarrow{a_{k+1}} + \overrightarrow{a_{k+2}}$ , $\overrightarrow{a_{k+1}} - \overrightarrow{a_{k+2}}$ , $-\overrightarrow{a_{k+1}} - \overrightarrow{a_{k+2}}$ ,
$-\overrightarrow{a_{k+1}} + \overrightarrow{a_{k+2}}$ . Długość każdego z tych wektorów nie przekracza $2$ , przy czym każdy jest prostopadły do następnego (sumę wektorów wyznacza jedna, różnicę druga przekątna równoległoboku rozpiętego na tych wektorach, w rozważanym przypadku równoległobok ten jest rombem, więc jego przekątne są prostopadłe). Niech $K$ , $L$ będą punktami wspólnymi okręgów $o(O, 2)$ i $o (A, 2)$ . Ponieważ punkt $A$ leży wewnątrz koła $k(O, 2)$ , więc kąt $KAL$ jest większy od kąta $KBL$ , gdzie $B$ jest dowolnym punktem okręgu $o (O, 2)$ należącym do koła $k (A, 2)$ , kąt zaś $KBL$ jest większy od kąta prostego. Wobec tego $KAL$ jest większy od kąta prostego i co najmniej jeden z wektorów $\overrightarrow{a_{k+1}} + \overrightarrow{a_{k+2}}$ , $\overrightarrow{a_{k+1}} - \overrightarrow{a_{k+2}}$ , $-\overrightarrow{a_{k+1}} - \overrightarrow{a_{k+2}}$ ,
$-\overrightarrow{a_{k+1}} + \overrightarrow{a_{k+2}}$ jest reprezentowany przez parę, której początek $A$ i koniec $B$ leżą wewnątrz kąta $KAL$ . Wynika stąd, że koniec pary reprezentującej co najmniej jeden z tych wektorów należy do $k(0, 2)$ . Igrek powinien wybrać $\varepsilon_{k+1}$ i $\varepsilon_{k+2}$ tak, by $\varepsilon_{k+1} \overrightarrow{a_{k+1}} + \varepsilon_{k+2} \overrightarrow{a_{k+2}}$ był właśnie tym wektorem. Na mocy zasady indukcji wynika stąd, że Igrek może tak wybrać znaki, by wektory $s_{2k}$ $\left( k = 1, 2, \ldots, \left[ \frac{n}{2} \right] \right)$ miały długość mniejszą od $2$ . Wobec tego $\overrightarrow{s_n}$ ma długość mniejszą od $2 + 1 = 3$ . (Jeśli $n$ jest liczbą nieparzystą to $\varepsilon_n$ można wybrać dowolnie).