I OM - B - Zadanie 9

Zawody matematyczne:

I OM, 1949-1950

Etap:

Dowieść, że jeżeli suma trzech liczb naturalnych jest podzielna przez 3, to suma sześcianów tych liczb jest
także podzielna przez 3.

Rozwiązanie

Sposób I

Niech $a, b, c$ będą liczbami naturalnymi, których suma podzielna jest przez 3. W tym celu wykażemy, że różnica
$(a^3 + b^3 + c^3) - (a + b + c)$ jest podzielna przez 3. Otóż

$ \begin{split} (a^3 &+ b^3 + c^3) - (a + b + c) = (a^3- a) + (b^3 - b) + (c^3- c) \\ &= (a - 1) a (a + 1) + (b -1) b (b + 1) + (c - 1) c (c + 1) \end{split} $

Każdy z trzech składników po prawej stronie równości jest
podzielny przez 3, ponieważ jest iloczynem trzech kolejnych liczb
całkowitych. Suma ich jest więc też podzielna przez 3. Stąd
wniosek, że jeśli $a + b + c$ dzieli się przez 3, to i $a^3 + b^3 + c^3$
dzieli się przez 3.

Sposób II

Ponieważ

$ \begin{split} (a + b + c)^3 &= (a + b)^3 + 3 (a + b)^2 c + 3 (a + b) c^2+ c^3 = \\ &= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 + 3 (a + b)^2 c + 3 (a + b) c^2 + c^3, \end{split} $

więc

$ a^3 + b^3 + c^3= (a + b +c)^3 - 3a^2b - 3ab^2- 3 (a + b)^2c - 3 (a + b) c^2 $

Jeżeli $a + b + c$ dzieli się przez 3, to każdy składnik prawej
strony równości jest podzielny przez 3, zatem suma tych składników
jest też podzielna przez 3.

Uwaga. Ogólniej: jeśli suma liczb całkowitych $a_1 + a_2 + \dots + a_n$
jest podzielna przez 3, to suma $a_1^3 + a_2^3 + \dots + a_n^3$
jest też podzielna przez 3.

Możemy tego dowieść zupełnie tak samo, jak wyżej w sposobie I. Sposób II byłby tu mniej dogodny.