XXXI - I - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

XXXI OM, 1979-1980

Etap:

Udowodnić, że dla różnych liczb całkowitych $a, b, c$ i dowolnej liczby naturalnej $n$ liczba

$ \frac{a^n}{(a - b)(a - c)} + \frac{b^n}{(b - a)(b - c)} + \frac{c^n}{(c - a)(c - b)} $

jest całkowita.

Rozwiązanie

Przedstawmy rozważaną liczbę w postaci

$ \frac{a^n(b - c)+ b^n(c - a) + c^n(a - b)}{(a - b) (a - c) (b - c)}. $

Licznik tego ułamka jest wartością w punkcie $(a, b, c)$ wielomianu trzech zmiennych $f(x, y, z) = x^n(y - z) +y^n (z - x) + z^n (x- y)$ . Ponieważ

$ \begin{split} f(x,y, z)&=x^ny - x^nz + y^nz - xy^n + z^n(x - y) =\\ &= xy(x^{n-1} - y^{n-1}) - z(x^n -y^n) + z^n(x-y) =\\ &= xy(x-y)(x^{n-2} + x^{n-3}y + \ldots + xy^{n-3} + y^{n-2})+\\ &\quad-z(x-y)(x^{n-1} + x^{n-2}y+ \ldots + xy^{n-2} +y^{n-1}) + z^n(x-y) =\\ &= (x-y)[xy(x^{n-2} + x^{n-3}y + \ldots + xy^{n-3} + y^{n-2})+\\ &\quad -z(x^{n-1} + x^{n-2}y + \ldots + xy^{n-2} +y^{n-1}) +z^n], \end{split} $

więc wielomian $f(x,y, z)$ dzieli się przez $x- y$ . Podobnie stwierdzamy, że $f(x,y, z)$ dzieli się przez $x - z$ oraz przez $y - z$ . Wobec tego wielomian ten dzieli się przez $(x-y)(x - z)(y - z)$ . Wynika stąd, że wartość tego wielomianu w punkcie o współrzędnych całkowitych $(a, b, c)$ dzieli się przez wartość wielomianu $(x - y) (x - z) (y - z)$ w tym punkcie, tj. przez liczbę $(a - b)(a - c)(b - c)$ . Wobec tego

$ \frac{a^n(b - c) + b^n(c - a) + c^n(a - b)}{ (a - b) (a - c) (b - c)} $

jest liczbą całkowitą.