XXXI - I - Zadanie 8

Zawody matematyczne:

XXXI OM, 1979-1980

Etap:

Znaleźć wszystkie podzbiory $S$ zbioru liczb wymiernych spełniające następujące warunki.
1. Jeśli $a \in S$ , $b \in S$ , to $a + b \in S$ .
2. Jeśli $a$ jest liczbą wymierną różną od 0, to dokładnie jedna z liczb $a$ i $-a$ , należy do $S$ .

Rozwiązanie

Z warunku 2 wynika, że do zbioru $S$ należy liczba $1$ albo liczba $-1$ . Rozpatrzmy kolejno te dwa przypadki.

Załóżmy, że $1 \in S$ . Każda liczba naturalna $n$ jest sumą $n$ składników, z których każdy równy jest $1$ , więc na mocy warunku 1 liczba $n$ należy do $S$ . Wykażemy, że każda liczba wymierna dodatnia należy do $S$ . Gdyby dla pewnych $m$ , $n$ naturalnych $\frac{m}{n} \not \in S$ , to na mocy warunku 2 liczba $-\frac{m}{n}$ byłaby elementem $S$ , a stąd na mocy warunku 1 liczba $-m = \left( - \frac{m}{n} \right) + \left( - \frac{m}{n} \right) + \ldots + \left( - \frac{m}{n} \right)$ należałaby do $S$ . Wynikałoby stąd, że liczba naturalna $m$ nie należy do $S$ wbrew temu, co stwierdziliśmy wyżej. Wobec tego wszystkie liczby wymierne dodatnie należą do $S$ ; warunek 2 zapewnia, że żadna liczba wymierna ujemna nie należy do $S$ . Mamy więc w tym przypadku dwie możliwości: $S$ jest zbiorem liczb wymiernych dodatnich lub $S$ jest zbiorem liczb wymiernych nieujemnych. Każdy z tych zbiorów oczywiście spełnia warunki zadania.

Jeśli natomiast $- 1 \in S$ , to dokładnie tak samo stwierdzamy, że wszystkie liczby wymierne ujemne należą do $S$ , liczby zaś dodatnie nie należą do $S$ . W tym przypadku mamy również dwie możliwości: $S$ jest zbiorem liczb wymiernych ujemnych lub $S$ jest zbiorem liczb wymiernych niedodatnich.

Ostatecznie zbiór $S$ może być zbiorem liczb wymiernych dodatnich, zbiorem liczb wymiernych nieujemnych, zbiorem liczb wymiernych ujemnych lub zbiorem liczb wymiernych niedodatnich.