XXXI - I - Zadanie 12

Zawody matematyczne:

XXXI OM, 1979-1980

Etap:

Niech $D$ będzie obszarem na płaszczyźnie ograniczonym półprostą $\{(x,y) : x \geq 0, y = 0\}$ i parabolą o równaniu $y = x^2$ tzn. $D = \{(x,y) : x > 0, 0 < y < x^2\}$ . W obszarze $D$ porusza się bez tarcia kula bilardowa (traktujemy ją jako punkt materialny) odbijając się od brzegu obszaru $D$ zgodnie z regułą „kąt padania równa się kątowi odbicia". Udowodnić, że kula odbije się od brzegu obszaru D tylko skończoną liczbę razy.

Uwaga. Kula odbija się od paraboli w taki sposób, w jaki odbija się od stycznej do paraboli w tym punkcie.

Rozwiązanie

Niech $A_1, A_2, \ldots$ będą kolejnymi punktami odbicia kuli od prostej o równaniu $y = 0$ , $B_1, B_2, \ldots$ - kolejnymi punktami odbicia kuli od paraboli o równaniu $y = x^2$ . Dla prześledzenia toru kuli przeprowadźmy następującą konstrukcję. Budujemy trójkąt $KL_1M_1$ w którym $KL_1 = OA_1$ $KM_1 = OB_1$ , $L_1M_1 = A_1B_1$ , następnie budujemy trójkąt $KM_1L_2$ , w którym $KL_2 = OA_2$ , $M_1L_2 = B_1A_2$ , przy czym punkty $L_1$ , $L_2$ leżą po przeciwnych stronach prostej $KM_1$ , następnie budujemy trójkąt $KL_2M_2$ itd. przy czym $KL_i = OA_i$ , $KM_i = OB_i$ , $L_iM_i = A_iB_i$ , $M_iL_{i+1} = B_iA_{i+1}$ , punkty $L_i$ , $L_{i+1}$ leżą po przeciwnych stronach prostej $KM_1$ , punkty $M_i$ , $M_{i+1}$ leżą po przeciwnych stronach prostej $KL_{i+1}$ . Trójkąty $KL_iM_i$ są przystające do trójkątów $OA_iB_i$ (dla
$1 = 1, 2, \ldots$ ), trójkąty $KM_iL_{i+1}$ są przystające do trójkątów $OB_iA_{i+1}$ ( $i = 1, 2, \ldots$ ). Wynika stąd, że kąty $KL_{i+1}M_i$ oraz $OB_{i+1}A_i$ są równe oraz kąty $KM_iL_i$ oraz $OB_iA_i$ są równe dla $i = 1, 2, \ldots$ . Z zasady odbijania kuli od prostej wynika, że $\measuredangle OA_{i+1}B_i = \pi - \measuredangle OA_{i+1}B_{i+1}$ , więc $\measuredangle KL_{i+1} M_i = \measuredangle OA_{i+1}B_i = \pi - \measuredangle OA_{i+1}B_{i+1} =\pi - \measuredangle KL_{i+1}M_{i+1}$ . Ponieważ parabola jest krzywą wypukłą i wobec tego odcinek siecznej $\overline{OB_i}$ leży nad styczną do paraboli w punkcie $B_i$ więc $\measuredangle OB_iA_i > \pi - \measuredangle OB_iA_{i+1}$ . Wobec tego $\measuredangle KM_iL_i =\measuredangle 0B_iA_i > \pi - \measuredangle OB_iA_{i+1} = \pi- \measuredangle KM_iL_{i+1}$ . Wynika stąd, że (*) wszystkie punkty $M_j$ , $L_j$ leżą w tej samej półpłaszczyźnie o krawędzi $L_iM_i$ , która nie zawiera punktu $K$ . Wobec tego odległości punktów $L_i$ oraz $M_j$ od punktu $K$ są większe od pewnej liczby i w konsekwencji każdy z kątów $L_iKM_i$ , $M_iKL_{i+1}$ jest większy od pewnego kąta $\alpha$ . Istnieje więc liczba naturalna $n$ , dla której $2n \alpha > \pi$ . Gdyby kula mogła odbić się $2n$ razy od brzegu obszaru $D$ to łamana $L_1M_1L2\ldots M_n$ przecinałaby oba ramiona kąta $L_1KM$ o mierze $2n \alpha$ . Nie jest to możliwe wobec (*). Zatem kula odbije się od brzegu obszaru mniej niż $2n$ razy.