XXXI - II - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XXXI OM, 1979-1980

Etap:

Uczniowie $A$ i $B$ grają według następujących reguł: uczeń $A$ obiera na płaszczyźnie wektor $\overrightarrow{a_1}$ o długości 1, następnie uczeń $B$ podaje liczbę $s_1$ , równą $1$ lub $-1$ ; potem uczeń $A$ obiera wektor $\overrightarrow{a_1}$ o długości $1$ , a z kolei uczeń $B$ podaje liczbę $s_2$ równą $1$ lub $-1$ itd. Wygrywa $B$ , jeśli dla pewnego $n$ wektor $\sum_{j=1}^n \varepsilon_j \overrightarrow{a_j}$ ma długość większą od ustalonej przed rozpoczęciem gry liczby $R$ . Udowodnić, że uczeń $B$ może doprowadzić do wygranej w nie więcej niż $R^2 + 1$ krokach niezależnie od postępowania partnera $A$ .

Rozwiązanie

Wykażemy przez indukcję, że uczeń $B$ może tak wybrać liczby $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \ldots, \varepsilon_n$ , aby długość wektora $\overrightarrow{\omega_n} = \sum_{k=1}^n \varepsilon_k \overrightarrow{a_k}$ , była nie mniejsza od $\sqrt{n}$ .

Dla $n = 1$ wektor ma długość $1$ niezależnie od tego, czy $\varepsilon_1 = 1$ , czy też $\varepsilon_1 = - 1$ .

Załóżmy, że dla pewnego $n \geq 1$ długość wektora $\overrightarrow{\omega_n} = \sum_{k=1}^n \varepsilon_k \overrightarrow{a_k}$ , jest $\geq \sqrt{n}$ . Jeśli $\overrightarrow{a_{n+1}}$ jest kolejnym wektorem o długości $1$ podanym przez gracza $A$ , to gracz $B$ powinien przyjąć $\varepsilon_{n+1} = 1$ , jeśli wektory $\overrightarrow{a_{n+1}}$ oraz $\overrightarrow{w_n}$ tworzą kąt o mierze $\leq \frac{\pi}{2}$ , natomiast $\varepsilon_{n+1} = - 1$ , jeżeli ten kąt ma miarę $> \frac{\pi}{2}$ (wtedy wektory $\overrightarrow{w_n}$ i $- \overrightarrow{a_{n+1}}$ tworzą kąt o mierze $< \frac{\pi}{2}$ ). Dzięki takiemu wyborowi $cos \measuredangle (\overrightarrow{\omega_n}, \varepsilon_{n+1} \overrightarrow{a_{n+1}}) \geq 0$ . Wobec tego

$ \begin{split} w_{n+1}^2 = (\overrightarrow{ \omega_n} + \varepsilon_{n+1} \overrightarrow{a_{n+1}} )^2 = & \overrightarrow{ w_n^2} + \overrightarrow{a_{n+1}}^2 + 2 \overrightarrow{w_n} \cdot \varepsilon_{n+1} \cdot \overrightarrow{a_{n+1}} ^2 \geq \\ & \geq n+1+ 2\sqrt{2} \cdot 1 \cdot \cos \measuredangle (\overrightarrow{\omega_n}, \varepsilon_{n+1} \overrightarrow{a_{n+1}} \geq n+1, \end{split} $

a zatem

$ \omega_{n+1} \geq \sqrt{n+1}. $

Stąd na mocy zasady indukcji wynika, że gracz $B$ może tak dobierać liczby $\varepsilon_k$ , by dla każdej liczby naturalnej $n$ było $\omega_n \geq \sqrt{n}$ .

Dla dowolnej liczby rzeczywistej nieujemnej $R$ liczba $[R^2 + 1]$ jest najmniejszą liczbą naturalną większą od $R^2$ , zatem po $n = [R^2 + 1]$ krokach
gracz $B$ może spowodować, by długość wektora $\omega_n$ była większa lub równa $\sqrt{[R^2 + 1]} > \sqrt{R^2} = R$ . Jeśli ustalona z góry liczba $R$ jest ujemna, uczeń $B$ wygrywa już w pierwszym kroku, $R^2 + 1 > 1$ .