XXXI - II - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XXXI OM, 1979-1980

Etap:

Dowieść, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n$ prawdziwa jest nierówność

$ x_1x_2x_3\ldots x_n \leq \frac{x_1^2}{2} + \frac{x_2^4}{4} + \frac{x_3^8}{8} + \ldots + \frac{x_n^{2^n}}{2^n} + \frac{1}{2^n} $

Rozwiązanie

Załóżmy najpierw, że $x_1, x2, \ldots, x_n$ są liczbami nieujemnymi. Rozpatrzmy liczby

$ \underbrace{x_1^2, \ldots, x_1^2,}_{2^{n-1} \ \textrm{razy}} \underbrace{x_2^{2^2}, \ldots, x_2^{2^2},}_{2^{n-2} \ \textrm{razy}} \ldots\underbrace{x_{n-2}^{2^{n-2}}, \ldots, x_{n-2}^{2^{n-2}},}_{4 \ \textrm{razy}} \underbrace{x_{n-1}^{2^{n-1}}, x_{n-1}^{2^{n-1}}, x_n^{2n},1}_{2} \ \textrm{razy} $

Średnia geometryczna tych liczb wynosi

$ \sqrt[2^n]{x_1^{2^n} x_2^{2^n} \ldots x_{n-1}^{2^n} x_n^n \cdot 1} = x_1 x_2 \ldots x_n, $

Średnia arytmetyczna wynosi

$ \frac{1}{2^n} (2^{n-1} x_1^2 + 2^{n-2} x_2^{2^2} + \ldots + 2 x_{n-1}^{2^{n-1}} + x_n^{2^n} + 1) = \frac{x_1^2}{2} + \frac{x_2^2}{2^2} + \ldots + \frac{x_{n-1}^{2^{n-1}}}{2^{n-1}} + \frac{x_n^{2^n}}{2^n} + \frac{1}{2^n}. $

Na mocy nierówności między średnią arytmetyczną a średnią geometryczną otrzymujemy

$ x_1x_2 \ldots x_n \leq \frac{x_1^2}{2} + \frac{x_2^{2^2}}{2^2} + \ldots + \frac{x_n2^n}{2^n} + \frac{1}{2^n}. $

Jeśli liczby $x_1, x_2, \ldots, x_n$ nie są wszystkie nieujemne, to na mocy powyższego

$ |x_1| \cdot |x_2| \cdot \ldots \cdot |x_n| \leq \frac{x_1^2}{2} + \frac{x_2^2}{2^2} + \ldots + \frac{x_{n-1}^{2^{n-1}}}{2^{n-1}} + \frac{x_n^{2^n}}{2^n} + \frac{1}{2^n}. $

(po prawej stronie opuszczamy znak wartości bezwzględnej, bo wszystkie potęgi mają parzyste wykładniki), a z kolei

$ x_1x_2 \ldots x_n \leq |x_1| \cdot |x_2| \cdot \ldots \cdot |x_n|. $