XXXI - II - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XXXI OM, 1979-1980

Etap:

Dana jest w przestrzeni kula $K$ i punkty $A, B$ poza kulą takie, że odcinek $AB$ przecina wnętrze kuli. Udowodnić, że zbiór tych punktów $P$ , dla których odcinki $AP$ i $BP$ są styczne do kuli $K$ , zawarty jest w pewnej płaszczyźnie.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $O$ środek kuli $K$ , przez $r$ długość jej promienia. Mamy

$ \overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OA} = (\overrightarrow{OR} + \overrightarrow{RP} \cdot (\overrightarrow{OR} + \overrightarrow{RA}) = \overrightarrow{OR}^2 + \overrightarrow{RP} \cdot \overrightarrow{RA}, $

ponieważ wektor $\overrightarrow{OR}$ jest prostopadły do $\overrightarrow{RP}$ i do $\overrightarrow{RA}$ . Wektory $\overrightarrow{RP}$ i $\overrightarrow{RA}$ są równoległe, więc

$ (*) \qquad \overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OA} = r^2 + RP \cdot d_1. $

Analogicznie

$ (**) \qquad \overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OB} = r^2 + SP \cdot d_2. $

Mnożąc równość (*) przez $d_2$ , równość (**) przez - $d_1$ i dodając stronami otrzymamy

$ (***) \qquad \overrightarrow{OP} \cdot (d_2 \cdot \overrightarrow{OA} - d_1 \cdot \overrightarrow{OB}) = r^2 (d_2 - d_1), $

gdyż $RP = SP$ .

Zbiór wszystkich punktów $P$ spełniających równanie (***) stanowi płaszczyznę prostopadłą do wektora $d_2 \overrightarrow{OA} - d_1 \cdot \overrightarrow{OB}$ , cnd.