I OM - B - Zadanie 10

Zawody matematyczne:

I OM, 1949-1950

Etap:

Wykazać, że dla dowolnych liczb $a, b, c$ zachodzi nierówność

$ a^2 + b^2 + c^2 \geqslant ab + bc + ca $

Rozwiązanie

Sposób I

Ponieważ

$ a^2 - 2ab + b2 = (a - b)^2 \geqslant O, $

więc

$ a^2+ b^2 \geqslant 2ab $

i tak samo

$ b^2+ c^2 \geqslant 2bc $

oraz

$ c^2+ a^2 \geqslant 2ca $

Dodając stronami powyższe trzy nierówności otrzymujemy

$ 2(a^2+b^2+c^2) \geqslant 2 (ab+bc+ca) $

skąd

$ a^2 + b^2 + c^2 \geqslant ab + bc + ca $

Sposób II

Zastosujemy metodę sprowadzenia do niedorzeczności. Przypuśćmy, że dla pewnych liczb $a, b, c$
prawdziwa jest nierówność

$ a^2 + b^2 + c^2 < ab + bc + ca $

w takim razie

$ \begin{split} a^2+ b^2 + c^2 - ab - bc - ca &< 0 \\ 2a^2 + 2b^2 + 2c^2- 2ab - 2bc - 2ca &< 0 \\ (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 &< 0 \end{split} $

Otrzymaliśmy nierówność nieprawdziwą, gdyż każdy z trzech
kwadratów po lewej stronie jest liczbą nieujemną, a więc suma
tych kwadratów jest liczbą nieujemną. Zatem dla wszelkich
liczb $a, b, c$ zachodzi nicrówność

$ a^2 + b^2 + c^2 \geqslant ab + bc + ca $

Uwaga. Sposoby I i II różnią się właściwie tylko ujęciem,
gdyż oba polegają w gruncie rzeczy na zastosowaniu tych samych
przesłanek: