XXXI - II - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XXXI OM, 1979-1980

Etap:

Udowodnić, że jeżeli $a$ i $b$ są liczbami rzeczywistymi oraz wielomian $ax^3 - ax^2 + 9bx - b$ ma trzy pierwiastki dodatnie, to są one równe.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że liczby dodatnie $s$ , $t$ , $u$ są pierwiastkami wielomianu $ax^3 - ax^2 + 9bx - b$ . Wobec tego $ax^3 - ax^2 + 9bx - b = a (x - s) (x - t)(x - u)$ , skąd po wymnożeniu z prawej strony i przyrównaniu współczynników przy kolejnych potęgach zmiennej $x$ otrzymamy tzw. wzory Viete'a

$ s + t + u = 1 $

$ st + su + tu = \frac{9b}{a} $

$ stu=\frac{b}{a} $

Dzieląc drugi z tych wzorów przez trzeci otrzymamy

$ \frac{1}{s} + \frac{1}{t} + \frac{1}{u} = 9. $

Pomnóżmy to równanie przez pierwszy z wzorów Vetie'a

$ \left(\frac{1}{s} + \frac{1}{t} + \frac{1}{u}\right) (s + t + u) = 9 \cdot 1, $

$ 1 + \frac{t}{s} + \frac{u}{s} + \frac{s}{t} + 1 + \frac{u}{t} + \frac{s}{u} + \frac{t}{u} + 1 =9, $

$ \frac{t}{s} + \frac{s}{t} + \frac{u}{s} + \frac{s}{u} + \frac{u}{t} + \frac{t}{u} = 6. $

Zauważmy, że $\frac{t}{s} + \frac{s}{t} \geq 2$ , przy czym równość ma miejsce tylko w przypadku, gdy $s = t$ . Istotnie, nierówność ta jest równoważna nierówności $t^2 + s^2 \geq 2st$ (otrzymanej przez pomnożenie przez liczbę dodatnią $st$ ), ta zaś równoważna jest nierówności $t^2 + s^2 - 2st \geq 0$ , to jest nierówności $(t - s)^2 \geq 0$ .